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Logarithmisches Differenzieren
Herleitung der Ableitung von \({f(x)}^{g(x)}\)
Ausgehend von der Gleichung $y = {f(x)}^{g(x)}$ werden zunächst beide Seiten logarithmiert und mithilfe der Logarithmusgesetze umgestellt:
\begin{align*} y &= {f(x)}^{g(x)} \\[0.75em] \ln(y) &= \ln\left( {f(x)}^{g(x)} \right) \\[0.75em] &= g(x) \cdot \ln\left( f(x) \right) \end{align*}
Anschließendes Ableiten und Umstellen liefert die gesuchte Formel:
\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ \ln(y) \Bigr] &= \frac{d}{dx} \Bigl[ g(x) \cdot \ln\left( f(x) \right) \Bigr] \\[0.75em] \frac{1}{y} \cdot \frac{d}{dx} \Bigl[ y \Bigr] &= \frac{d}{dx}\Bigl[ g(x) \Bigr] \cdot \ln\left( f(x) \right) + g(x) \cdot \frac{1}{f(x)} \cdot \frac{d}{dx}\Bigl[ f(x) \Bigr] \\[0.75em] \frac{d}{dx} \Bigl[ y \Bigr] &= y \cdot \left( \frac{d}{dx}\Bigl[ g(x) \Bigr] \cdot \ln\left( f(x) \right) + g(x) \cdot \frac{1}{f(x)} \cdot \frac{d}{dx}\Bigl[ f(x) \Bigr] \right) \\[0.75em] &= {f(x)}^{g(x)} \cdot \left( \frac{d}{dx}\Bigl[ g(x) \Bigr] \cdot \ln\left( f(x) \right) + g(x) \cdot \frac{1}{f(x)} \cdot \frac{d}{dx}\Bigl[ f(x) \Bigr] \right) \\[0.75em] \end{align*}