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Logarithmus (Integrationsregel)

Herleitung der Stammfunktion von $\ln(x)$

\begin{align*} \int{\ln(x)\ dx} &= \int{1 \cdot \ln(x)\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \ln(x) - \int{x \cdot \frac{1}{x}\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \ln(x) - \int{1\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \ln(x) - x \end{align*}

Herleitung der Stammfunktion von $\ln^{-1}(x)$

N/A

Herleitung der Stammfunktion von $\ln^n(x)$

Es wird zunächst $t = \ln(x)$ substituiert. Aus $t = \ln(x)$ folgt $dx = e^t\ dt$.

\begin{align*} \int{{\Bigl( \ln(x) \Bigr)}^n\ dx} &= \int{t^n \cdot e^t\ dt} \\[0.75em] &= t^n \cdot e^t - \int{n \cdot t^{n-1} \cdot e^t\ dt} \\[0.75em] &= t^n \cdot e^t - n \cdot \int{t^{n-1} \cdot e^t\ dt} \\[0.75em] &= {\Bigl( \ln(x) \Bigr)}^n \cdot e^{\ln(x)} - n \cdot \int{{\Bigl( \ln(x) \Bigr)}^{n-1}\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot {\Bigl( \ln(x) \Bigr)}^n - n \cdot \int{{\Bigl( \ln(x) \Bigr)}^{n-1}\ dx} \end{align*}

Herleitung der Stammfunktion von $\ln^{-n}(x)$

N/A