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Logarithmus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Logarithmusfunktion (abgekürzt: log, ln) lässt sich mithilfe von partieller Integration bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für ganzzahlige Potenzen der Logarithmusfunktion.

Integrationsregel

Die Stammfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion (abgekürzt: ln) ist für alle $x \in \R$ mit $x \gt 0$ wie folgt definiert:

\[ \int{\ln(x)\ dx} = x \cdot \ln(x) - x + \mathcal{C} \]

Die Stammfunktion der Logarithmusfunktion mit beliebiger Basis $a \in \R$ mit $a \gt 0$ und $a \neq 1$ (abgekürzt: loga ) ist für alle $x \in \R$ mit $x \gt 0$ wie folgt definiert:

\[ \int{\log_a(x)\ dx} = x \cdot \log_a(x) - \frac{x}{\ln(a)} + \mathcal{C} \]

Für Potenzen der Logarithmusfunktion mit positiven ganzzahligen Exponenten $n \gt 1$ existieren darüber hinaus die folgenden Integrationsregeln:

\begin{align*} \int{\ln^n(x)\ dx} &= x \cdot \ln^n(x) - n \cdot \int{\ln^{n-1}(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\log_a^n(x)\ dx} &= x \cdot \log_a^n(x) - \frac{n}{\ln(a)} \cdot \int{\log_a^{n-1}(x)\ dx} \end{align*}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Für Potenzen der Logarithmusfunktion mit negativen ganzzahligen Exponenten $n \leq -1$ existiert keine geschlossene Integrationsregel – diese sind nicht elementar integrierbar.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Logarithmusfunktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \ln(8x) \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t = 8x$ substituiert, woraus sich $dt = 8\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{8}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\ln(8x)\ dx} \\[0.75em] &= \int{\ln(t) \cdot \frac{1}{8}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{8} \cdot \int{\ln(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{8} \cdot \bigl( t \cdot \ln(t) - t \bigr) \\[0.75em] &= \frac{1}{8} \cdot \bigl( 8x \cdot \ln(8x) - 8x \bigr) \\[0.75em] &= x \cdot \ln(8x) - x + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Logarithmusfunktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \ln\bigl(x^2 + 5\bigr) \cdot x \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t = x^2 + 5$ substituiert, woraus sich $dt = 2x\ dx$ bzw. $x\ dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\ln\bigl(x^2+5\bigr) \cdot x\ dx} \\[0.75em] &= \int{\ln(t) \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{\ln(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \bigl( t \cdot \ln(t) - t \bigr) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \Bigl( \bigl(x^2+5\bigr) \cdot \ln\bigl(x^2+5\bigr) - \bigl(x^2+5\bigr) \Bigr) \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \bigl(x^2+5\bigr) \cdot \ln\bigl(x^2+5\bigr) - \frac{1}{2} \cdot \bigl(x^2+5\bigr) + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 3

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Logarithmusfunktion bestimmt werden soll:

\[ h(x) = \log_2\bigl(x^{10}\bigr) \]

Da es sich bei $\log_2(x^{10})$ um einen Logarithmus einer Potenz handelt – und nicht um eine Potenz der Logarithmusfunktion – ist die Rekursionsformel hier nicht anwendbar. Stattdessen kann der Ausdruck mithilfe von Logarithmusgesetz II zunächst vereinfacht werden:

\begin{align*} \int{h(x)\ dx} &= \int{\log_2\bigl(x^{10}\bigr)\ dx} \\[0.75em] &= \int{10 \cdot \log_2(x)\ dx} \\[0.75em] &= 10 \cdot \int{\log_2(x)\ dx} \\[0.75em] &= 10 \cdot \left( x \cdot \log_2(x) - \frac{x}{\ln(2)} \right) \\[0.75em] &= 10x \cdot \log_2(x) - \frac{10x}{\ln(2)} + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 4

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Logarithmusfunktion bestimmt werden soll:

\[ k(x) = \ln^3(x) \]

Die Funktion $\ln^3(x)$ kann nicht unmittelbar integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Das Integral kann jedoch durch zweifaches Anwenden der Rekursionsformel für $n \gt 1$ zunächst umgeformt (bzw. vereinfacht) und anschließend aufgelöst werden, nachdem der Exponent auf $1$ reduziert wurde. Es gilt:

\begin{align*} \int{k(x)\ dx} &\overset{\phantom{(n=3)}}{=} \int{\ln^3(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=3)}{=} x \cdot \ln^3(x) - 3 \cdot \int{\ln^2(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=2)}{=} x \cdot \ln^3(x) - 3 \cdot \left( x \cdot \ln^2(x) - 2 \cdot \int{\ln(x)\ dx} \right) \\[0.75em] &\overset{(n=1)}{=} x \cdot \ln^3(x) - 3 \cdot \Bigl( x \cdot \ln^2(x) - 2 \cdot \bigl( x \cdot \ln(x) - x \bigr) \Bigr) \\[0.75em] &\overset{\phantom{(n=1)}}{=} x \cdot \ln^3(x) - 3x \cdot \ln^2(x) + 6x \cdot \ln(x) - 6x + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von lna(x)

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion erfolgt mithilfe von partieller Integration. Es gilt:

\begin{align*} \int{\ln(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{1 \cdot \ln(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} x \cdot \ln(x) - \int{x \cdot \frac{1}{x}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} x \cdot \ln(x) - \int{1\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} x \cdot \ln(x) - x + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Anwenden von partieller Integration mit
    \begin{align*} u' &= 1 \\[0.75em] v &= \ln(x) \end{align*}
  • Mithilfe der Ableitungsregel der Logarithmusfunktion ergibt sich:
    \begin{align*} u &= x \\[0.75em] v' &= \frac{1}{x} \end{align*}
  • Es gilt $\int{u'v} = uv - \int{uv'}$
(3)
  • Kürzen von $x$
(4)
  • Auflösen des Integrals
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Herleitung der Integrationsregel von loga(x)

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Logarithmusfunktion mit einer beliebigen Basis $a \in \R$ mit $a \gt 0$ und $a \neq 1$ kann analog zum natürlichen Logarithmus ebenfalls mit partieller Integration gefunden werden. Es gilt:

\begin{align*} \int{\log_a(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{1 \cdot \log_a(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} x \cdot \log_a(x) - \int{x \cdot \frac{1}{x \cdot \ln(a)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} x \cdot \log_a(x) - \frac{1}{\ln(a)} \int{1\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} x \cdot \log_a(x) - \frac{x}{\ln(a)} + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben von $\log_a(x)$ als Produkt $1 \cdot \log_a(x)$, um partielle Integration anwenden zu können
(2)
  • Anwenden von partieller Integration mit
    \begin{align*} u' &= 1 \\[0.75em] v &= \log_a(x) \end{align*}
  • Mithilfe der Ableitungsregel der Logarithmusfunktion ergibt sich:
    \begin{align*} u &= x \\[0.75em] v' &= \frac{1}{x \cdot \ln(a)} \end{align*}
  • Es gilt $\int{u'v} = uv - \int{uv'}$
(3)
(4)
  • Auflösen des Integrals
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Herleitung der Integrationsregel von lnn(x) für n > 1

Für positive ganzzahlige Exponenten $n \gt 1$ können Potenzen der natürlichen Logarithmusfunktion nicht direkt integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Stattdessen kann eine Rekursionsformel hergeleitet werden, die das Integral $\int{\ln^n(x)\ dx}$ auf das einfachere Integral $\int{\ln^{n-1}(x)\ dx}$ zurückführt. Die Herleitung erfolgt mithilfe von partieller Integration.

\begin{align*} \int{\ln^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{1 \cdot \ln^n(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} x \cdot \ln^n(x) - \int{x \cdot n \cdot \ln^{n-1}(x) \cdot \frac{1}{x}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} x \cdot \ln^n(x) - n \cdot \int{\ln^{n-1}(x)\ dx} \\[0.75em] \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben von $\ln^n(x)$ als Produkt $1 \cdot \ln^n(x)$, um partielle Integration anwenden zu können
(2)
(3)

Die gesuchte Rekursionsformel für $n \gt 1$ lautet damit:

\[ \int{\ln^n(x)\ dx} = x \cdot \ln^n(x) - n \cdot \int{\ln^{n-1}(x)\ dx} \]

Diese Formel führt das Integral $\int{\ln^n(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\ln^{n-1}(x)\ dx}$ zurück (für $n \gt 1$), dessen Exponent $n-1$ stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $n$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $1$ gebracht. Dieser Fall fungiert als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da er eine bekannte Stammfunktion besitzt – und erlaubt somit ein vollständiges Auflösen des Integrals:

\[ \int{\ln(x)\ dx} = x \cdot \ln(x) - x + \mathcal{C} \]

Herleitung der Integrationsregel von logan(x) für n > 1

Für positive ganzzahlige Exponenten $n \gt 1$ können Potenzen der Logarithmusfunktion mit einer beliebigen Basis $a \in \R$ (mit $a \gt 0$ und $a \neq 1$) ebenfalls nicht direkt integriert werden. Stattdessen kann auch in diesem Fall eine Rekursionsformel mithilfe von partieller Integration gefunden werden. Es gilt:

\begin{align*} \int{\log_a^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{1 \cdot \log_a^n(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} x \cdot \log_a^n(x) - \int{x \cdot n \cdot \log_a^{n-1}(x) \cdot \frac{1}{x \cdot \ln(a)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} x \cdot \log_a^n(x) - \frac{n}{\ln(a)} \cdot \int{\log_a^{n-1}(x)\ dx} \\[0.75em] \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben von $\log_a^n(x)$ als Produkt $1 \cdot \log_a^n(x)$, um partielle Integration anwenden zu können
(2)
(3)

Die gesuchte Rekursionsformel für $n \gt 1$ lautet damit:

\[ \int{\log_a^n(x)\ dx} = x \cdot \log_a^n(x) - \frac{n}{\ln(a)} \cdot \int{\log_a^{n-1}(x)\ dx} \]

Diese Formel führt das Integral $\int{\log_a^n(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\log_a^{n-1}(x)\ dx}$ zurück (für $n \gt 1$), dessen Exponent $n-1$ stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $n$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $1$ gebracht. Dieser Fall fungiert als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da er eine bekannte Stammfunktion besitzt – und erlaubt somit ein vollständiges Auflösen des Integrals:

\[ \int{\log_a(x)\ dx} = x \cdot \log_a(x) - \frac{x}{\ln(a)} + \mathcal{C} \]

Herleitung der Integrationsregel von lnn(x) bzw. logan(x) für n ≤ -1

Für negative ganzzahlige Exponenten $n \leq -1$ können Potenzen der Logarithmusfunktion nicht integriert werden. Es existiert weder eine explizite Integrationsregel noch eine Rekursionsformel. Partielle Integration führt stets zu Integralen, die nicht elementar integrierbar sind.

Die Nicht-Integrierbarkeit ist ein bekanntes Resultat der Differentialalgebra und kann beispielsweise mithilfe des Risch-Algorithmus formal bewiesen werden.