Logarithmusfunktion

\begin{align*} \int{\ln(x)\ dx} &= \int{1 \cdot \ln(x)\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \ln(x) - \int{x \cdot \frac{1}{x}\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \ln(x) - \int{1\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \ln(x) - x \end{align*}

\begin{align*} \int{{\Bigl( \ln(x) \Bigr)}^n\ dx} &= \int{t^n \cdot e^t\ dt} \\[0.75em] &= t^n \cdot e^t - \int{n \cdot t^{n-1} \cdot e^t\ dt} \\[0.75em] &= t^n \cdot e^t - n \cdot \int{t^{n-1} \cdot e^t\ dt} \\[0.75em] &= {\Bigl( \ln(x) \Bigr)}^n \cdot e^{\ln(x)} - n \cdot \int{{\Bigl( \ln(x) \Bigr)}^{n-1}\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot {\Bigl( \ln(x) \Bigr)}^n - n \cdot \int{{\Bigl( \ln(x) \Bigr)}^{n-1}\ dx} \end{align*}