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Potenzfunktion
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Herleitung der Ableitung von $x^n$ (natürliche Exponenten)
Für positive ganzzahlige Exponenten $n \in \mathbb{N}$ kann die Ableitung von $x^n$ über den Grenzwert des Differenzenquotienten bestimmt werden.
\begin{align} {\left[ x^n \right]}' &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{{(x+h)}^n - x^n}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\left[ \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}x^{n-k}h^k} \right] - x^n}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{ \displaystyle\binom{n}{0} x^n + \displaystyle\binom{n}{1} x^{n-1} h + \displaystyle\binom{n}{2} x^{n-2} h^2 + \ldots + \displaystyle\binom{n}{n} h^n - x^n}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{ x^n + \displaystyle\binom{n}{1} x^{n-1} h + \displaystyle\binom{n}{2} x^{n-2} h^2 + \ldots + \displaystyle\binom{n}{n} h^n - x^n}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\displaystyle\binom{n}{1} x^{n-1} h + \displaystyle\binom{n}{2} x^{n-2} h^2 + \ldots + \displaystyle\binom{n}{n} h^n}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \binom{n}{1} x^{n-1} + \binom{n}{2} x^{n-2} h^1 + \ldots + \binom{n}{n} h^{n-1} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( n \cdot x^{n-1} + h \cdot \left( \binom{n}{2} x^{n-2} + \ldots + \binom{n}{n} h^{n-2} \right) \right)} \\[0.75em] &= n \cdot x^{n-1} \end{align}
Herleitung der Ableitung von $x^n$ (allgemein)
Ausgehend von der Gleichung $y = x^n$ werden zunächst beide Seiten logarithmiert und mithilfe der Logarithmusgesetze umgestellt.
\begin{align*} y &= x^n \\[0.75em] \ln(y) &= \ln\left( x^n \right) \\[0.75em] &= n \cdot \ln(x) \end{align*}
Anschließendes Ableiten und Umstellen liefert die gesuchte Formel:
\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ \ln(y) \Bigr] &= \frac{d}{dx} \Bigl[ n \cdot \ln(x) \Bigr] \\[0.75em] \frac{1}{y} \cdot \frac{d}{dx} \Bigl[ y \Bigr] &= n \cdot \frac{1}{x} \\[0.75em] \frac{d}{dx} \Bigl[ y \Bigr] &= n \cdot \frac{1}{x} \cdot y \\[0.75em] &= n \cdot \frac{1}{x} \cdot x^n \\[0.75em] &= n \cdot x^{n-1} \end{align*}