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Produktregel

Die Produktregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung, die beschreibt, wie die Berechnung der Ableitung eines Produkts aus zwei oder mehreren Funktionen auf die Berechnung der Ableitungen der einzelnen Funktionen zurückgeführt werden kann.

Inhalt

Definition
Beispiele
Verallgemeinerung auf mehrere Faktoren
Beweis der Produktregel

Definition

Gegeben seien ein Intervall $D$ der reellen oder der komplexen Zahlen sowie zwei auf diesem Intervall definierte Funktionen $u$ und $v$. Sind die Funktionen $u$ und $v$ an einer Stelle $x_0 \in D$ differenzierbar, so ist auch die Funktion $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $ an der Stelle $x_0$ differenzierbar und es gilt

f'(x_0) = u'(x_0) \cdot v(x_0) + u(x_0) \cdot v'(x_0).

Oder kurz:

\[ f' = {[uv]}' = u'v + uv'. \]

Beispiele

Verallgemeinerung auf mehrere Faktoren

Die Ableitung von Produkten mit $n>2$ Faktoren kann ebenfalls mit der Produktregel bestimmt werden: Hierzu wird das Produkt zunächst durch geeignetes Klammern auf den Fall $n=2$ zurückgeführt und anschließend differenziert.

Für die Funktion $f=uvw$ mit $n=3$ Faktoren gilt:

\begin{align*} f' &= {[uvw]}' \\[0.5em] &= {[u(vw)]}' \\[0.5em] &= u'(vw) + u{[vw]}' \\[0.5em] &= u'vw + u(v'w + vw') \\[0.5em] &= u'vw + uv'w + uvw'. \end{align*}

Nach demselben Schema folgt für die Funktion $f=uvwz$ mit $n=4$ Faktoren:

\begin{align*} f' &= {[uvwz]}' \\[0.5em] &= {[u(vwz)]}' \\[0.5em] &= u'(vwz) + u{[vwz]}' \\[0.5em] &= u'vw + u(v'wz + vw'z + vwz') \\[0.5em] &= u'vwz + uv'wz + uvw'z + uvwz'. \end{align*}

Für die Funktion $f = f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_n = \prod\limits_{i=1}^{n}{f_i}$ mit $n$ Faktoren gilt die allgemeine Produktregel:

f' = {\left[ \prod\limits_{i=1}^{n}{f_i} \right]}' = \sum\limits_{i=1}^{n}{\left( f_i' \cdot \prod\limits_{\overset{k=1}{k \neq i}}^{n}{f_k} \right)}.

Beweis der Produktregel

Zunächst soll die Produktregel für Produkte $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ mit $n=2$ Faktoren bewiesen werden. Zu diesem Zweck wird die bekannte Regel mithilfe des Differenzenquotienten hergeleitet.

f'(x_0) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \right)} = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(x_0+h) \cdot v(x_0+h) - u(x_0) \cdot v(x_0)}{h} \right)}

Anschließend wird im Zähler der Term $u(x_0+h) \cdot v(x_0) - u(x_0+h) \cdot v(x_0)$ addiert, der insgesamt $0$ ergibt und den Wert des Zählers nicht verändert.

f'(x_0) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(x_0+h) \cdot v(x_0+h) - u(x_0) \cdot v(x_0) + u(x_0+h) \cdot v(x_0) - u(x_0+h) \cdot v(x_0)}{h} \right)}

Ausklammern der Terme $u(x_0+h)$ bzw. $v(x_0)$ liefert:

f'(x_0) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(x_0+h) \cdot \Bigl[ v(x_0+h) - v(x_0) \Bigr] + v(x_0) \cdot \Bigl[ u(x_0+h) - u(x_0) \Bigr]}{h} \right)}

Der Grenzwert des Differenzenquotienten für die Funktion $f$ kann nun mithilfe der Grenzwertsätze auf die Grenzwerte der Differenzenquotienten der Funktionen $u$ und $v$ zurückgeführt werden.

\begin{align*} f'(x_0) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(x_0+h) \cdot \Bigl[ v(x_0+h) - v(x_0) \Bigr]}{h} \right)} + \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{v(x_0) \cdot \Bigl[ u(x_0+h) - u(x_0) \Bigr]}{h} \right)} \\[0.75em] &= \underbrace{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\Bigl(u(x_0+h)\Bigr)}}_{=u(x_0)} \cdot \underbrace{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{v(x_0+h)-v(x_0)}{h} \right)}}_{=v'(x_0)} + v(x_0) \cdot \underbrace{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(x_0+h)-u(x_0)}{h} \right)}}_{=u'(x_0)} \end{align*}

Ersetzen der Differenzenquotienten für $u$ und $v$ durch die entsprechenden Ableitungen und abschließendes Anwenden des Kommutativgesetzes liefert die gesuchte Formel:

\begin{align*} f'(x_0) &= u(x_0) \cdot v'(x_0) + u'(x_0) \cdot v(x_0) \\[0.5em] &= u'(x_0) \cdot v(x_0) + u(x_0) \cdot v'(x_0) \end{align*}

Der Beweis der allgemeinen Produktregel für Produkte $f = f_1 \cdot \ldots \cdot f_n$ mit $n>2$ Faktoren ergibt sich direkt aus dem Beweis für den Fall $n=2$ und der Tatsache, dass der Fall $n>2$ auf den Fall $n=2$ zurückgeführt wird.