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Quotientenregel
Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung, die beschreibt, wie die Berechnung der Ableitung eines Quotienten aus zwei Funktionen auf die Berechnung der Ableitungen der einzelnen Funktionen zurückgeführt werden kann.
Definition
Gegeben seien ein Intervall $D$ der reellen oder der komplexen Zahlen sowie zwei auf diesem Intervall definierte Funktionen $u$ und $v$. Sind die Funktionen $u,v$ an einer Stelle $x_0 \in D$ differenzierbar und gilt $v(x_0) \neq 0$, so ist auch die Funktion $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar und es gilt
\[ f'(x_0) = \frac{u'(x_0) \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot v'(x_0)}{{\bigl( v(x_0) \bigr)}^2} \]
Alternative Schreibweisen:
\[ \frac{d}{dx}\bigl(f(x)\bigr) = \frac{\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\bigr) \cdot v(x) - u(x) \cdot \frac{d}{dx}\bigl(v(x)\bigr)}{{\bigl( v(x) \bigr)}^2} \] \[ f' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \]
Beispiele
Beweis der Quotientenregel
Die Quotientenregel kann direkt mithilfe des Grenzwerts des Differenzenquotienten hergeleitet werden. Es gilt:
\begin{align*} f'(x_0) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\frac{u(x_0+h)}{v(x_0+h)} - \frac{u(x_0)}{v(x_0)}}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\frac{u(x_0+h) \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot v(x_0+h)}{v(x_0+h) \cdot v(x_0)}}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(x_0+h) \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot v(x_0+h)}{h \cdot v(x_0+h) \cdot v(x_0)} \right)} \end{align*}
Im Zähler wird der Term $-u(x_0) \cdot v(x_0) + u(x_0) \cdot v(x_0)$ addiert, der insgesamt den Wert $0$ besitzt und somit den Wert des Zählers nicht verändert; anschließend werden einige Termumformungen vorgenommen.
\begin{align*} f'(x_0) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(x_0+h) \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot v(x_0) + u(x_0) \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot v(x_0+h)}{h \cdot v(x_0+h) \cdot v(x_0)} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{v(x_0+h) \cdot v(x_0)} \cdot \left( \frac{u(x_0+h) \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot v(x_0)}{h} + \frac{u(x_0) \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot v(x_0+h)}{h} \right) \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{v(x_0+h) \cdot v(x_0)} \cdot \left( \frac{u(x_0+h) - u(x_0)}{h} \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot \frac{v(x_0+h) - v(x_0)}{h} \right) \right)} \end{align*}
Anwendung der Rechenregeln für Grenzwerte und der Definition des Differenzenquotienten ergibt die Quotientenregel:
\begin{align*} f'(x_0) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{v(x_0+h) \cdot v(x_0)} \right)} \cdot \left( \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(x_0+h) - u(x_0)}{h} \cdot v(x_0) \right)} - \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( u(x_0) \cdot \frac{v(x_0+h) - v(x_0)}{h} \right)} \right) \\[0.75em] &= \underbrace{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{v(x_0+h)} \right)}}_{=\frac{1}{v(x_0)}} \cdot \frac{1}{v(x_0)} \cdot \left( \underbrace{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(x_0+h) - u(x_0)}{h} \right)}}_{=u'(x_0)} \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot \underbrace{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{v(x_0+h) - v(x_0)}{h} \right)}}_{=v'(x_0)} \right) \\[0.75em] &= \frac{u'(x_0) \cdot v(x_0) - u(x_0) \cdot v'(x_0)}{{\left( v(x_0) \right)}^2} \end{align*}
