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Integration Rationale Funktion

Inhalt

Beschreibung des Verfahrens
Integration von Partialbrüchen
Beispiele

Beschreibung des Verfahrens

Schritt 1: Division mit Rest

Besitzt das Zählerpolynom $f(x)$ einen Grad, der kleiner als der Grad des Nennerpolynoms $g(x)$ ist, gilt also $\deg{f(x)} \lt \deg{g(x)}$, so entfällt der erste Schritt. Andernfalls wird zunächst eine Division mit Rest durchgeführt, um Polynome $q(x)$ und $r(x)$ zu finden, für die gilt:

f(x) = q(x) \cdot g(x) + r(x).

Dividiert man diese Gleichung durch $g(x)$, so ergibt sich die folgende alternative Schreibweise für die ursprüngliche rationale Funktion:

\frac{f(x)}{g(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{g(x)}

Das Polynom $q(x)$ kann problemlos integriert werden; die verbleibende rationale Funktion $\frac{r(x)}{q(x)}$ kann einfacher integriert werden als die ursprüngliche rationale Funktion.

Schritt 2: Faktorzerlegung des Nenners

Das Nennerpolynom $g(x)$ sei ein Polynom $n$-ten Grades und besitze reelle Koeffizienten. Bei einer reellen Zahl $a \in \R$ handelt es sich um eine Nullstelle von $g(x)$, wenn $g(a) = 0$ gilt. Mit $a_1,\ldots,a_r$ seien (falls vorhanden) die reellen Nullstellen von $g(x)$ bezeichnet;

g(x) = c \cdot {\bigl( x - a_1 \bigr)}^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot {\bigl( x - a_r \bigr)}^{\alpha_r} \cdot {\bigl( Q_1(x) \bigr)}^{\beta_1} \cdot \ldots \cdot {\bigl( Q_s(x) \bigr)}^{\beta_s}

Schritt 3: Partialbruchzerlegung

Mithilfe der in Schritt 2 gefundenen Faktorzerlegung des Nenners kann nun eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden, um die zu integrierende rationale Funktion $\frac{r(x)}{g(x)}$ in die folgende Form zu überführen:

\begin{align*} \frac{r(x)}{g(x)} & = \frac{A_{11}}{x - a_1} + \frac{A_{12}}{{(x - a_1)}^2} + \ldots + \frac{A_{1\alpha_1}}{{(x - a_1)}^{\alpha_1}} \\[0.75em] & \qquad\quad\vdots \\[0.75em] & + \frac{A_{r1}}{x - a_r} + \frac{A_{r2}}{{(x - a_r)}^2} + \ldots + \frac{A_{r\alpha_r}}{{(x - a_r)}^{\alpha_r}} \\[0.75em] & + \frac{p_{11}x + q_{11}}{Q_1(x)} + \frac{p_{12}x + q_{12}}{{\bigl(Q_1(x)\bigr)}^2} + \ldots + \frac{p_{1\beta_1}x + q_{1\beta_1}}{{\bigl( Q_1(x) \bigr)}^{\beta_1}} \\[0.75em] & \qquad\quad\vdots \\[0.75em] & + \frac{p_{s1}x + q_{s1}}{Q_s(x)} + \frac{p_{s2}x + q_{s2}}{{\bigl(Q_s(x)\bigr)}^2} + \ldots + \frac{p_{s\beta_s}x + q_{s\beta_s}}{{\bigl( Q_s(x) \bigr)}^{\beta_s}} \end{align*}

Schritt 4: Integration

Nachdem man im dritten Schritt eine Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion gefunden hat, können die gefundenen Partialbrüche nun einzeln integriert werden.

Integration von Partialbrüchen

Es existieren insgesamt 6 Arten von Partialbrüchen, die auf verschiedene Art und Weise integriert werden können:

Fall 1: Partialbrüche der Form $\mathbf{\frac{c}{x-a}}$

Partialbrüche der Form $\frac{c}{x-a}$ können mithilfe des Logarithmus integriert werden, da der Zähler bis auf den Faktor $c$ der Ableitung des Nenners entspricht. Es gilt
$\int{\frac{c}{x-a}\ dx} = c \cdot \int{\frac{1}{x-a}\ dx} = c \cdot \ln{\bigl| x - a \bigr|}$
Fall 2: Partialbrüche der Form $\frac{c}{{(x-a)}^n}$

Partialbrüche der Form $\frac{c}{{(x-a)}^n}$ können wie folgt integriert werden:
$\begin{align*} \int{\frac{c}{{(x-a)}^n}\ dx} &= c \cdot \int{{(x-a)}^{-n}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{c}{1-n} \cdot {(x-a)}^{-n+1} \end{align*}$
Fall 3: Partialbrüche der Form $\frac{c}{x^2+ax+b}$

Partialbrüche der Form $\frac{c}{x^2+ax+b}$ können wie folgt integriert werden:
$\begin{align*} \int{\frac{c}{x^2+ax+b}\ dx} &= c \cdot \int{\frac{1}{x^2+ax+b}\ dx} \\[0.75em] &= c \cdot \int{\frac{1}{{\left( x + \frac{a}{2} \right)}^2 + b - \frac{a^2}{4}}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{c}{b-\frac{a^2}{4}} \cdot \int{\frac{1}{\frac{{\left( x + \frac{a}{2} \right)}^2}{b-\frac{a^2}{4}} + 1}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{c}{b-\frac{a^2}{4}} \cdot \int{\frac{1}{{\left( \frac{x + \frac{a}{2}}{\sqrt{b-\frac{a^2}{4}}} \right)}^2 + 1}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{c}{b-\frac{a^2}{4}} \cdot \sqrt{b - \frac{a^2}{4}} \cdot \int{\frac{1}{t^2+1}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{c}{b-\frac{a^2}{4}} \cdot \sqrt{b - \frac{a^2}{4}} \cdot \arctan{t} \\[0.75em] &= \frac{c}{\sqrt{b-\frac{a^2}{4}}} \cdot \arctan{\left( \frac{x + \frac{a}{2}}{\sqrt{b-\frac{a^2}{4}}} \right)} \end{align*}$
Fall 4: Partialbrüche der Form $\frac{c}{{(x^2+ax+b)}^n}$

Zunächst wird eine Stammfunktion für $\int{\frac{2t}{(t^2+1)^n}\ dt}$ bestimmt.
$\begin{align*} \int{\frac{2t}{(t^2+1)^n}\ dt} &= \int{\frac{1}{u}\ du} \\[0.75em] &= \frac{1}{1-n} \cdot \frac{1}{u^{n-1}} \\[0.75em] &= \frac{1}{1-n} \cdot \frac{1}{{(t^2+1)}^{n-1}} \end{align*}$
Außerdem wird eine Rekursionsformel für $\int{\frac{1}{{(t^2+1)}^n}\ dt}$ bestimmt. Hierzu wird zunächst $\int{\frac{1}{{(t^2+1)}^{n-1}}\ dt}$ betrachtet:
$\begin{align*} \int{\frac{1}{{(t^2+1)}^{n-1}}\ dt} &= \int{\frac{t^2+1}{{(t^2+1)}^n}\ dt} \\[0.75em] &= \int{\frac{t^2}{{(t^2+1)}^n}\ dt} + \int{\frac{1}{{(t^2+1)}^n}\ dt} \\[0.75em] &= \int{\overbrace{\frac{t}{2}}^{u} \cdot \overbrace{\frac{2t}{{(t^2+1)}^n}}^{v'}\ dt} + \int{\frac{1}{{(t^2+1)}^n}\ dt} \\[0.75em] &= \overbrace{\frac{t}{2}}^{u} \cdot \overbrace{\frac{1}{1-n} \cdot \frac{1}{{(t^2+1)}^{n-1}}}^{v} - \int{\overbrace{\frac{1}{2}}^{u'} \cdot \overbrace{\frac{1}{1-n} \cdot \frac{1}{{(t^2+1)}^{n-1}}}^{v}\ dt} + \int{\frac{1}{{(t^2+1)}^n}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{t}{2} \cdot \frac{1}{1-n} \cdot \frac{1}{{(t^2+1)}^{n-1}} - \frac{1}{2 \cdot (1-n)} \cdot \int{\frac{1}{{(t^2+1)}^{n-1}}\ dt} + \int{\frac{1}{{(t^2+1)}^n}\ dt} \end{align*}$
Diese Gleichung kann nun nach $\int{\frac{1}{{(t^2+1)}^n}\ dt}$ umgestellt werden:
$\int{\frac{1}{{(t^2+1)}^n}\ dt} = \frac{1}{2 \cdot (1-n)} \cdot \left( \bigl( 3-2n \bigr) \cdot \int{\frac{1}{{(t^2+1)}^{n-1}}\ dt} - \frac{t}{{(t^2+1)}^{n-1}} \right)$
Abschließend kann eine Rekursionsformel für $\frac{c}{{(x^2+ax+b)}^n}$ bestimmt werden:
$\begin{align*} \int{\frac{c}{{(x^2+ax+b)}^n}\ dt} &= c \cdot \int{\frac{1}{{\left( {\left( x + \frac{a}{2} \right)}^2 + \underbrace{b - \frac{a^2}{4}}_{= \lambda} \right)}^n}\ dx} \\[0.75em] &= c \cdot \int{\frac{1}{{\left( \lambda \cdot \left( \frac{{\left( x + \frac{a}{2} \right)}^2}{\lambda} + 1 \right) \right)}^n}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{c}{\lambda^n} \cdot \int{\frac{1}{{\left( {\left( \frac{x + \frac{a}{2}}{\sqrt{\lambda}} \right)}^2 + 1 \right)}^n}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{c \cdot \sqrt{\lambda}}{\lambda^n} \cdot \int{\frac{1}{{\left( t^2 + 1 \right)}^n}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{c \cdot \sqrt{\lambda}}{\lambda^n} \cdot \frac{1}{2 \cdot (1-n)} \cdot \left( \bigl( 3-2n \bigr) \cdot \int{\frac{1}{{(t^2+1)}^{n-1}}\ dt} - \frac{t}{{(t^2+1)}^{n-1}} \right) \\[0.75em] &= \frac{c \cdot \sqrt{\lambda}}{\lambda^n \cdot 2 \cdot (1-n)} \cdot \left( \bigl( 3-2n \bigr) \cdot \int{\frac{1}{{\left({\left( \frac{x + \frac{a}{2}}{\sqrt{\lambda}} \right)}^2+1 \right)}^{n-1}}\ dt} - \frac{\frac{x + \frac{a}{2}}{\sqrt{\lambda}}}{{\left({\left( \frac{x + \frac{a}{2}}{\sqrt{\lambda}} \right)}^2+1\right)}^{n-1}} \right) \\[0.75em] &= \frac{c}{2 \cdot \lambda \cdot (1-n)} \cdot \left( \frac{(3-2n) \cdot \sqrt{\lambda}}{\lambda^{n-1}} \cdot \int{\frac{1}{{\left({\left( \frac{x + \frac{a}{2}}{\sqrt{\lambda}} \right)}^2+1 \right)}^{n-1}}\ dt} - \frac{1}{\lambda^{n-1}} \cdot \frac{x + \frac{a}{2}}{{\left({\left( \frac{x + \frac{a}{2}}{\sqrt{\lambda}} \right)}^2+1\right)}^{n-1}} \right) \\[0.75em] &= \frac{c}{2 \cdot \lambda \cdot (1-n)} \cdot \left( (3-2n) \cdot \int{\frac{1}{\lambda^{n-1} \cdot {\left({\left( \frac{x + \frac{a}{2}}{\sqrt{\lambda}} \right)}^2+1 \right)}^{n-1}} \cdot \sqrt{\lambda} \ dt} - \frac{x + \frac{a}{2}}{\lambda^{n-1} \cdot {\left({\left( \frac{x + \frac{a}{2}}{\sqrt{\lambda}} \right)}^2+1\right)}^{n-1}} \right) \\[0.75em] &= \frac{c}{2 \cdot \lambda \cdot (1-n)} \cdot \left( (3-2n) \cdot \int{\frac{1}{{\left({\left( x + \frac{a}{2} \right)}^2+ \lambda \right)}^{n-1}}\ dx} - \frac{x + \frac{a}{2}}{{\left({\left( x + \frac{a}{2} \right)}^2+ \lambda \right)}^{n-1}} \right) \\[0.75em] &= \frac{c}{2 \cdot \left(b - \frac{a^2}{4} \right) \cdot (1-n)} \cdot \left( (3-2n) \cdot \int{\frac{1}{{\left({\left( x + \frac{a}{2} \right)}^2+ b - \frac{a^2}{4} \right)}^{n-1}}\ dx} - \frac{x + \frac{a}{2}}{{\left({\left( x + \frac{a}{2} \right)}^2+ b - \frac{a^2}{4} \right)}^{n-1}} \right) \\[0.75em] &= \frac{c}{2 \cdot \left(b - \frac{a^2}{4} \right) \cdot (1-n)} \cdot \left( (3-2n) \cdot \int{\frac{1}{{\left( x^2 + ax + b \right)}^{n-1}}\ dx} - \frac{x + \frac{a}{2}}{{\left( x^2 + ax + b \right)}^{n-1}} \right) \end{align*}$
Fall 5: Partialbrüche der Form $\frac{px+q}{x^2+ax+b}$

Partialbrüche der Form $\frac{px+q}{x^2+ax+b}$ können wie folgt integriert werden:
$\begin{align*} \int{\frac{px+q}{x^2+ax+b}\ dx} &= \frac{p}{2} \cdot \int{\frac{2x+\frac{2q}{p}}{x^2+ax+b}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{p}{2} \cdot \int{\frac{2x+\frac{2q}{p}+a-a}{x^2+ax+b}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{p}{2} \cdot \left( \int{\frac{2x+a}{x^2+ax+b}\ dx} + \int{\frac{\frac{2q}{p}-a}{x^2+ax+b}\ dx} \right) \\[0.75em] &= \frac{p}{2} \cdot \left( \int{\frac{2x+a}{x^2+ax+b}\ dx} + \left( \frac{2q}{p}-a \right) \cdot \int{\frac{1}{x^2+ax+b}\ dx} \right) \\[0.75em] &= \frac{p}{2} \cdot \left( \ln{\Bigl| x^2+ax+b \Bigr|} + \frac{\frac{2q}{p}-a}{\sqrt{b - \frac{a^2}{4}}} \cdot \arctan{\left( \frac{x + \frac{a}{2}}{\sqrt{b - \frac{a^2}{4}}} \right)} \right) \\[0.75em] &= \frac{p}{2} \cdot \ln{\Bigl| x^2+ax+b \Bigr|} + \frac{q - \frac{ap}{2}}{\sqrt{b - \frac{a^2}{4}}} \cdot \arctan{\left( \frac{x + \frac{a}{2}}{\sqrt{b - \frac{a^2}{4}}} \right)} \end{align*}$
Fall 6: Partialbrüche der Form $\frac{px+q}{{(x^2+ax+b)}^n}$

Partialbrüche der Form $\frac{px+q}{{(x^2+ax+b)}^n}$ können wie folgt integriert werden:
$\begin{align*} \int{\frac{px+q}{{(x^2+ax+b)}^n}\ dx} &= \frac{p}{2} \cdot \int{\frac{2x+\frac{2q}{p}}{{(x^2+ax+b)}^n}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{p}{2} \cdot \int{\frac{2x+\frac{2q}{p}+a-a}{{(x^2+ax+b)}^n}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{p}{2} \cdot \left( \int{\frac{2x+a}{{(x^2+ax+b)}^n}\ dx} + \int{\frac{\frac{2q}{p}-a}{{(x^2+ax+b)}^n}\ dx} \right) \\[0.75em] &= \frac{p}{2} \cdot \left( \frac{1}{1-n} \cdot \int{(1-n) \cdot {(x^2+ax+b)}^{-n} \cdot (2x+a)\ dx} + \int{\frac{\frac{2q}{p}-a}{{(x^2+ax+b)}^n}\ dx} \right) \\[0.75em] &= \frac{p}{2} \cdot \left( \frac{1}{1-n} \cdot {(x^2+ax+b)}^{-n+1} + \left( \frac{2q}{p}-a \right) \cdot \int{\frac{1}{{(x^2+ax+b)}^n}\ dx} \right) \\[0.75em] &= \frac{p}{2 \cdot (1-n)} \cdot \frac{1}{{(x^2+ax+b)}^{n-1}} + \left( q - \frac{ap}{2} \right) \cdot \int{\frac{1}{{(x^2+ax+b)}^n}\ dx} \end{align*}$