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Reziprokenregel
Die Reziprokenregel (oder auch Kehrwertregel) ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung, die beschreibt, wie die Berechnung des Reziproken einer Funktion auf die Berechnung der Ableitung der Funktion zurückgeführt werden kann.
Definition
Gegeben seien ein Intervall $I$ der reellen Zahlen sowie eine auf diesem Intervall definierte Funktion $v$. Ist die Funktion $v$ an einer Stelle $x_0 \in I$ differenzierbar und gilt $v'(x_0) \neq 0$, so ist auch die Funktion $f(x)=\frac{1}{v(x)}$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar und es gilt
\[ f'(x_0) = - \frac{v'(x_0)}{{\left( v(x_0) \right)}^2}. \]
Oder kurz:
\[ {\left[ \frac{1}{v} \right]}' = - \frac{v'}{v^2} \]
Beispiele
Beweis der Reziprokenregel
Die Reziprokenregel kann direkt mithilfe des Grenzwerts des Differenzenquotienten hergeleitet werden. Es gilt
\begin{align*} f'(x_0) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\frac{1}{v(x_0+h)} - \frac{1}{v(x_0)}}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\frac{v(x_0) - v(x_0+h)}{v(x_0+h) \cdot v(x_0)}}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{v(x_0) - v(x_0+h)}{h \cdot v(x_0+h) \cdot v(x_0)} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{v(x_0+h) \cdot v(x_0)} \cdot \frac{v(x_0) - v(x_0+h)}{h} \right)} \end{align*}
Anwendung der Rechenregeln für Grenzwerte und der Definition des Differenzenquotienten ergibt die Reziprokenregel:
\begin{align*} f'(x_0) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{v(x_0+h) \cdot v(x_0)} \right)} \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{v(x_0) - v(x_0+h)}{h} \right)} \\[0.75em] &= \underbrace{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{v(x_0+h)} \right)}}_{=\frac{1}{v(x_0)}} \cdot \frac{1}{v(x_0)} \cdot \left( - \underbrace{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{v(x_0+h)-v(x_0)}{h} \right)}}_{=v'(x_0)} \right) \\[0.75em] &= - \frac{v'(x_0)}{{\left( v(x_0) \right)}^2} \end{align*}
