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Sekans (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Sekans-Funktion (abgekürzt: sec) lässt sich mithilfe einer Integration durch Substitution und einer Partialbruchzerlegung bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für ganzzahlige Potenzen der Sekans-Funktion.

Grundlagen

Die Sekans-Funktion ist eine der grundlegenden trigonometrischen Funktionen. Sie kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$) als Kehrwert der Kosinus-Funktion dargestellt werden.

\[ \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \]

Integrationsregel

Die Stammfunktion der Sekans-Funktion (abgekürzt: sec) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}$ (für $k \in \Z$) wie folgt definiert:

\begin{align*} \int{\sec(x)\ dx} &= \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \sin(x) + 1 \bigr| - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \sin(x) - 1 \bigr| + \mathcal{C} \\[0.75em] &= \ln\bigl| \tan(x) + \sec(x) \bigr| + \mathcal{C} \end{align*}

Für Potenzen der Sekans-Funktion mit ganzzahligen Exponenten existieren darüber hinaus die folgenden Integrationsregeln:

\begin{align*} \int{\sec^{-1}(x)\ dx} &= \sin(x) + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\sec^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n-1} \cdot \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sec^{n-2}(x)\ dx} \quad(\text{für } n \gt 1) \\[0.75em] \int{\sec^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n} \cdot \tan(x) \cdot \sec^{n}(x) + \frac{n+1}{n} \cdot \int{\sec^{n+2}(x)\ dx} \quad(\text{für } n \lt -1) \end{align*}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Bei $\sec^{-1}$ handelt es sich um den Kehrwert $\frac{1}{\sec}$ der Sekans-Funktion – und nicht um die Arkussekans-Funktion.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Sekans-Funktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \sec(6x) \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=6x$ substituiert, woraus sich $dt = 6\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{6}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\sec(6x)\ dx} \\[0.75em] &= \int{\sec(t) \cdot \frac{1}{6}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{6} \cdot \int{\sec(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{6} \cdot \ln\bigl| \tan(t) + \sec(t) \bigr| \\[0.75em] &= \frac{1}{6} \cdot \ln\bigl| \tan(6x) + \sec(6x) \bigr| + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Sekans-Funktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \sec\left(x^2 + 5\right) \cdot x \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=x^2+5$ substituiert, woraus sich $dt = 2x\ dx$ bzw. $x\ dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\sec\left(x^2+5\right) \cdot x\ dx} \\[0.75em] &= \int{\sec(t) \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{\sec(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \tan(t) + \sec(t) \bigr| \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \ln\left| \tan\left( x^2+5 \right) + \sec\left( x^2+5 \right) \right| + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 3

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Sekans-Funktion bestimmt werden soll:

\[ h(x) = \sec^4(x) \]

Die Funktion $\sec^4(x)$ kann nicht unmittelbar integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Das Integral kann jedoch durch Anwenden der Rekursionsformel für $n \gt 1$ zunächst umgeformt (bzw. vereinfacht) und anschließend aufgelöst werden, nachdem der Exponent auf $2$ reduziert wurde. Es gilt:

\begin{align*} \int{h(x)\ dx} &\overset{\phantom{(n=4)}}{=} \int{\sec^4(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=4)}{=} \frac{1}{3} \cdot \tan(x) \cdot \sec^2(x) + \frac{2}{3} \cdot \int{\sec^2(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=2)}{=} \frac{1}{3} \cdot \tan(x) \cdot \sec^2(x) + \frac{2}{3} \cdot \tan(x) + \mathcal{C} \end{align*}

Hierbei wurde im letzten Schritt verwendet, dass $\int{\sec^2(x)\ dx} = \tan(x) + \mathcal{C}$ gilt, was sich direkt aus der Ableitungsregel der Tangens-Funktion ergibt.

Herleitung der Integrationsregel von sec(x)

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Sekans-Funktion erfolgt mithilfe einer Integration durch Substitution und anschließender Partialbruchzerlegung. Zunächst wird die Funktion umgeformt:

\begin{align*} \int{\sec(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\frac{1}{\cos(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int{\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \int{\frac{\cos(x)}{1 - \sin^2(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \int{\frac{1}{1 - t^2}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \int{\left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t+1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t-1} \right)\ dt} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{1}{2} \cdot \int{\frac{1}{t+1}\ dt} - \frac{1}{2} \cdot \int{\frac{1}{t-1}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| t+1 \bigr| - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| t-1 \bigr| \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \sin(x)+1 \bigr| - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \sin(x)-1 \bigr| + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Erweitern mit $\cos(x)$
(3)
  • Ersetzen von $\cos^2(x)$ durch $1 - \sin^2(x)$ mithilfe der trigonometrischen Identität $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$
(4)
(5)
  • Bestimmen einer Partialbruchzerlegung für die rationale Funktion; es gilt:
    \[ \frac{1}{1-t^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t+1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t-1} \]
(6)
(7)
(8)
  • Resubstitution von $t = \sin(x)$
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Weitere Form der Stammfunktion

Die erhaltene Stammfunktion lässt sich unter anderem mithilfe der Logarithmus- und Potenzgesetze in die folgende kompaktere Form überführen:

\begin{align*} \int{\sec(x)\ dx} &\overset{(8)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \sin(x)+1 \bigr| - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \sin(x)-1 \bigr| \\[0.75em] &\overset{(9)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\left| \frac{\sin(x)+1}{\sin(x)-1} \right| \\[0.75em] &\overset{(10)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\left| \frac{{(\sin(x)+1)}^2}{\sin^2(x)-1} \right| \\[0.75em] &\overset{(11)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\left| \frac{{(\sin(x)+1)}^2}{\cos^2(x)} \right| \\[0.75em] &\overset{(12)}{=} \ln\left| \frac{\sin(x)+1}{\cos(x)} \right| \\[0.75em] &\overset{(13)}{=} \ln\bigl| \tan(x) + \sec(x) \bigr| + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(9)
(10)
(11)
  • Ersetzen von $\sin^2(x)-1$ durch $-\cos^2(x)$ mithilfe der trigonometrischen Identität $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$
  • Entfernen des Vorzeichens von $-\cos^2(x)$ wegen der umschließenden Betragsfunktion
(12)
  • Anwenden von Potenzgesetz II-b, Herausziehen der Potenz aus dem Betrag, Anwenden von Logarithmusgesetz II liefert:
    \begin{align*} \frac{1}{2} \cdot \ln\left| \frac{{(\sin(x)+1)}^2}{\cos^2(x)} \right| &= \frac{1}{2} \cdot \ln \left| {\left( \frac{\sin(x)+1}{\cos(x)} \right)}^2 \right| \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \ln {\left| \frac{\sin(x)+1}{\cos(x)} \right|}^2 \\[0.75em] &= \ln \left| \frac{\sin(x)+1}{\cos(x)} \right| \end{align*}
(13)
  • Aufteilen des Bruchs und Umschreiben mithilfe der Definitionen der Tangens-Funktion und der Sekans-Funktion
    \begin{align*} \frac{\sin(x)+1}{\cos(x)} &= \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{1}{\cos(x)} \\[0.75em] &= \tan(x) + \sec(x) \end{align*}
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Herleitung der Integrationsregel von sec-1(x)

Bei $\sec^{-1}(x) = \frac{1}{\sec(x)}$ handelt es sich um die Kosinus-Funktion $\cos$. Die Integrationsregel für $\sec^{-1}$ ist daher identisch mit der Integrationsregel der Kosinus-Funktion:

\begin{align*} \int{\sec^{-1}(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\frac{1}{\sec(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int{\frac{1}{\frac{1}{\cos(x)}}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \int{\cos(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \sin(x) + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben der Potenz mithilfe der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
(2)
(3)
  • Auflösen des Doppelbruchs
(4)

Herleitung der Integrationsregel von secn(x) für n > 1

Für den ganzzahligen Exponenten $n=2$ ergibt sich die Stammfunktion der Sekans-Funktion unmittelbar aus der Umkehrung der Ableitungsregel der Tangens-Funktion. Es gilt:

\[ \int{\sec^2(x)\ dx} = \tan(x) + \mathcal{C} \]

Für positive ganzzahlige Exponenten $n \gt 2$ können Potenzen der Sekans-Funktion nicht direkt integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Stattdessen kann eine Rekursionsformel hergeleitet werden, die das Integral $\int{\sec^n(x)\ dx}$ auf das einfachere Integral $\int{\sec^{n-2}(x)\ dx}$ zurückführt. Die Herleitung erfolgt mithilfe von partieller Integration.

\begin{align*} \int{\sec^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\sec^2(x) \cdot \sec^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) - \int{\tan(x) \cdot (n-2) \cdot \sec^{n-2}(x) \cdot \tan(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \int{\tan^2(x) \cdot \sec^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \int{\bigl(\sec^2(x) - 1\bigr) \cdot \sec^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \left( \int{\sec^2(x) \cdot \sec^{n-2}(x)\ dx} - \int{\sec^{n-2}(x)\ dx} \right) \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \int{\sec^n(x)\ dx} + (n-2) \cdot \int{\sec^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben von $\sec^n(x)$ zu $\sec^2(x) \cdot \sec^{n-2}(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
(2)
(3)
  • Herausziehen des konstanten Faktors $n-2$ mithilfe der Faktorregel für Integrale
  • Zusammenfassen von $\tan(x) \cdot \tan(x)$ zu $\tan^2(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
(4)
  • Ersetzen von $\tan^2(x)$ durch $\sec^2(x) - 1$
  • Dies folgt aus der Definition der Tangens-Funktion, Potenzgesetz II-b und der trigonometrischen Identität $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$; es gilt:
    \begin{align*} \tan^2(x) &= \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{1 - \cos^2(x)}{\cos^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{1}{\cos^2(x)} - 1 \\[0.75em] &= \sec^2(x) - 1 \end{align*}
(5)
(6)
  • Zusammenfassen von $\sec^2(x) \cdot \sec^{n-2}(x)$ zu $\sec^n(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
  • Auflösen der Klammern

In der gefundenen Formel taucht das Integral $\int{\sec^n(x)\ dx}$ auf beiden Seiten mit unterschiedlicher Vielfachheit auf. Abschließendes Umstellen liefert die gesuchte Rekursionsformel:

\begin{align*} \int{\sec^n(x)\ dx} + (n-2) \cdot \int{\sec^n(x)\ dx} &\overset{(7)}{=} \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) + (n-2) \cdot \int{\sec^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] (n-1) \cdot \int{\sec^n(x)\ dx} &\overset{(8)}{=} \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) + (n-2) \cdot \int{\sec^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\sec^n(x)\ dx} &\overset{(9)}{=} \frac{1}{n-1} \cdot \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sec^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(7)
  • Addition von $(n-2) \cdot \int{\sec^n(x)\ dx}$ auf beiden Seiten der Gleichung
(8)
(9)
  • Division beider Seiten durch $(n-1)$

Die gesuchte Rekursionsformel für $n \gt 1$ lautet damit:

\[ \int{\sec^n(x)\ dx} = \frac{1}{n-1} \cdot \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sec^{n-2}(x)\ dx} \]

Diese Formel führt das Integral $\int{\sec^n(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\sec^{n-2}(x)\ dx}$ zurück (für $n \gt 1$), dessen Exponent $n-2$ stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $n$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $1$ oder $2$ gebracht. Beide Fälle fungieren als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da sie eine bekannte Stammfunktion besitzen – und erlauben somit ein vollständiges Auflösen des Integrals. (Hinweis: Der Exponent $0$ wäre ebenfalls ein möglicher Basisfall. Da jedoch bereits für den Fall $\sec^2$ eine Stammfunktion existiert, wäre dies lediglich zusätzlicher und unnötiger Rechenaufwand.)

\begin{align*} \int{\sec^2(x)\ dx} &= \tan(x) + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\sec(x)\ dx} &= \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \sin(x)+1 \bigr| - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \sin(x)-1 \bigr| + \mathcal{C} \\[0.75em] &= \ln\bigl| \tan(x) + \sec(x) \bigr| + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\sec^0(x)\ dx} &= \int{1\ dx} = x + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von secn(x) für n < -1

Für negative ganzzahlige Exponenten $n \lt -1$ können Potenzen der Sekans-Funktion nicht direkt integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Stattdessen kann eine Rekursionsformel hergeleitet werden, die das Integral $\int{\sec^n(x)\ dx}$ auf ein einfacheres Integral zurückführt. Sie ergibt sich direkt durch algebraisches Umformen der bereits bekannten Formel für $n \gt 1$. Es gilt:

\begin{align*} \int{\sec^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \frac{1}{n-1} \cdot \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sec^{n-2}(x)\ dx} \\[1.5em] \implies \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sec^{n-2}(x)\ dx} &\overset{(2)}{=} -\frac{1}{n-1} \cdot \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) + \int{\sec^n(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\sec^{n-2}(x)\ dx} &\overset{(3)}{=} -\frac{1}{n-2} \cdot \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) + \frac{n-1}{n-2} \cdot \int{\sec^n(x)\ dx} \\[1.5em] \implies \int{\sec^{m}(x)\ dx} &\overset{(4)}{=} -\frac{1}{m} \cdot \tan(x) \cdot \sec^m(x) + \frac{m+1}{m} \cdot \int{\sec^{m+2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Rekursionsformel für den Fall $n \gt 1$
(2)
  • Umstellen nach $\frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sec^{n-2}(x)\ dx}$
(3)
  • Multiplikation der Gleichung mit $\frac{n-1}{n-2}$
(4)
  • Substitution von $m = n-2$

Die erhaltene Formel führt das Integral $\int{\sec^m(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\sec^{m+2}(x)\ dx}$ zurück (für $m \lt -1$), dessen Exponent $m+2$ betragsmäßig stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $m$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $-1$ oder $0$ gebracht. Beide Fälle fungieren als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da sie eine bekannte Stammfunktion besitzen – und erlauben somit ein vollständiges Auflösen des Integrals:

\begin{align*} \int{\sec^{-1}(x)\ dx} &= \sin(x) + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\sec^0(x)\ dx} &= \int{1\ dx} = x + \mathcal{C} \end{align*}