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Integrationsregel für Sekans
Herleitung der Stammfunktion für $\sec^n(x)$
Die Stammfunktion für $\sec^n(x)$ (mit $n > 1$) wird mithilfe von partieller Integration hergeleitet:
\begin{align*} \int{\sec^n(x)\ dx} &= \int{\sec^2(x) \cdot \sec^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) - \int{\tan(x) \cdot (n-2) \cdot \sec^{n-3}(x) \cdot \sec(x) \cdot \tan(x)\ dx} \\[0.75em] &= \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \int{\tan^2(x) \cdot \sec^{n-2}(x)\ dx}. \end{align*}
Aufgrund der Identitäten $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$ und $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ gilt die folgende Gleichheit:
\[ \tan^2(x) = {\left( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \right)}^2 = \sin^2(x) \cdot \sec^2(x) = \left( 1 - \cos^2(x) \right) \cdot \sec^2(x) = \sec^2(x) - \cos^2(x) \cdot \sec^2(x) = \sec^2(x) - 1 \]
Einsetzen in das umgeformte Integral und Aufteilen auf zwei Integrale ergibt:
\begin{align*} \int{\sec^n(x)\ dx} &= \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \int{{\left( \sec^2(x) - 1 \right)} \cdot \sec^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \int{\sec^2(x) \cdot \sec^{n-2}(x)\ dx} + (n-2) \cdot \int{\sec^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) - (n-2) \cdot \int{\sec^n(x)\ dx} + (n-2) \cdot \int{\sec^{n-2}(x)\ dx}. \end{align*}
Anschließend wird nach $\int{\sec^n(x)\ dx}$ umgestellt:
\begin{align*} \bigl(1 + (n-2)\bigr) \cdot \int{\sec^n(x)\ dx} &= \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) + (n-2) \cdot \int{\sec^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \bigl(n - 1\bigr) \cdot \int{\sec^n(x)\ dx} &= \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) + (n-2) \cdot \int{\sec^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\sec^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n-1} \cdot \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sec^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}
Herleitung der Stammfunktion für $\sec^{-n}(x)$
Die Stammfunktion für $\sec^{-n}(x)$ kann durch Umstellen der Formel für $\sec^n(x)$ hergeleitet werden.
\[ \int{\sec^n(x)\ dx} = \frac{1}{n-1} \cdot \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sec^{n-2}(x)\ dx} \]
Umstellen nach $\int{\sec^{n-2}(x)\ dx}$:
\begin{align*} \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sec^{n-2}(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-1} \cdot \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) + \int{\sec^n(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\sec^{n-2}(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-2} \cdot \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) + \frac{n-1}{n-2} \cdot \int{\sec^n(x)\ dx} \end{align*}
Substitution $m=n-2$:
\[ \int{\sec^{m}(x)\ dx} = -\frac{1}{m} \cdot \tan(x) \cdot \sec^{m}(x) + \frac{m+1}{m} \cdot \int{\sec^{m+2}(x)\ dx} \]