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Ableitungsregel für Sekans
Inhalt
Herleitung
Die Bestimmung der Ableitung von $\sec(x)$ wird ausgehend von der Definition $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$ vorgenommen.
Es gilt:
\begin{align*} {\Bigl[ \sec(x) \Bigr]}' &= {\left[ \frac{1}{\cos(x)} \right]}' \\[0.75em] &= \frac{{\left[ 1 \right]}' \cdot \cos(x) - 1 \cdot {\left[ \cos(x) \right]}'}{\cos^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{0 \cdot \cos(x) - 1 \cdot \left(-\sin(x)\right)}{\cos^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \end{align*}
Variante 1:
\begin{align*} {\Bigl[ \sec(x) \Bigr]}' &= \frac{1}{\cos(x)} \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \\[0.75em] &= \sec(x) \cdot \tan(x) \end{align*}
Variante 2:
\begin{align*} {\Bigl[ \sec(x) \Bigr]}' &= \frac{\frac{1}{\cos^2(x)}}{\frac{1}{\sin(x)}} \\[0.75em] &= \frac{\sec^2(x)}{\csc(x)} \end{align*}