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Sinus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Sinus-Funktion (abgekürzt: sin) lässt sich direkt durch Umkehrung der Ableitungsregel der Kosinus-Funktion bestimmen. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für ganzzahlige Potenzen der Sinus-Funktion.

Grundlagen

Die Sinus-Funktion ist eine der grundlegenden trigonometrischen Funktionen. Aus der Ableitungsregel der Kosinus-Funktion folgt, dass es sich bei $\sin(x)$ um die Ableitung von $-\cos(x)$ handelt.

\[ \frac{d}{dx} \Bigl[ -\cos(x) \Bigr] = \sin(x) \]

Integrationsregel

Die Stammfunktion der Sinus-Funktion (abgekürzt: sin) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\[ \int{\sin(x)\ dx} = -\cos(x) + \mathcal{C} \]

Für Potenzen der Sinus-Funktion mit ganzzahligen Exponenten existieren darüber hinaus die folgenden Integrationsregeln:

\begin{align*} \int{\sin^{-1}(x)\ dx} &= \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \cos(x) - 1 \bigr| - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \cos(x) + 1 \bigr| + \mathcal{C} \\[0.75em] &= \ln\left| \tan\left(\frac{x}{2}\right) \right| + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\sin^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n} \cdot \cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\sin^{n-2}(x)\ dx} \quad(\text{für } n \gt 1) \\[0.75em] \int{\sin^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n+1} \cdot \cos(x) \cdot \sin^{n+1}(x) + \frac{n+2}{n+1} \cdot \int{\sin^{n+2}(x)\ dx} \quad(\text{für } n \lt -1) \end{align*}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Bei $\sin^{-1}$ handelt es sich um den Kehrwert $\frac{1}{\sin}$ der Sinus-Funktion – und nicht um die Arkussinus-Funktion.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Sinus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \sin(4x) \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=4x$ substituiert, woraus sich $dt = 4\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{4}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\sin(4x)\ dx} \\[0.75em] &= \int{\sin(t) \cdot \frac{1}{4}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{4} \cdot \int{\sin(t)\ dt} \\[0.75em] &= -\frac{1}{4} \cdot \cos(t) \\[0.75em] &= -\frac{1}{4} \cdot \cos(4x) + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Sinus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \sin\left(x^2 + 5\right) \cdot x \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=x^2+5$ substituiert, woraus sich $dt = 2x\ dx$ bzw. $x\ dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\sin\left(x^2+5\right) \cdot x\ dx} \\[0.75em] &= \int{\sin(t) \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{\sin(t)\ dt} \\[0.75em] &= -\frac{1}{2} \cdot \cos(t) \\[0.75em] &= -\frac{1}{2} \cdot \cos\left(x^2+5\right) + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 3

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Sinus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ h(x) = \sin^4(x) \]

Die Funktion $\sin^4(x)$ kann nicht unmittelbar integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Das Integral kann jedoch durch zweifaches Anwenden der Rekursionsformel für $n \gt 1$ zunächst umgeformt (bzw. vereinfacht) und anschließend aufgelöst werden, nachdem der Exponent auf $0$ reduziert wurde. Es gilt:

\begin{align*} \int{h(x)\ dx} &\overset{\phantom{(n=4)}}{=} \int{\sin^4(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=4)}{=} -\frac{1}{4} \cdot \cos(x) \cdot \sin^3(x) + \frac{3}{4} \cdot \int{\sin^2(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=2)}{=} -\frac{1}{4} \cdot \cos(x) \cdot \sin^3(x) + \frac{3}{4} \cdot \left( -\frac{1}{2} \cdot \cos(x) \cdot \sin(x) + \frac{1}{2} \cdot \int{\sin^0(x)\ dx} \right) \\[0.75em] &\overset{(n=0)}{=} -\frac{1}{4} \cdot \cos(x) \cdot \sin^3(x) + \frac{3}{4} \cdot \left( -\frac{1}{2} \cdot \cos(x) \cdot \sin(x) + \frac{1}{2} \cdot x \right) \\[0.75em] &\overset{\phantom{(n=0)}}{=} -\frac{1}{4} \cdot \cos(x) \cdot \sin^3(x) - \frac{3}{8} \cdot \cos(x) \cdot \sin(x) + \frac{3}{8} \cdot x + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von sin(x)

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Sinus-Funktion erfolgt durch Umkehrung der Ableitungsregel der Kosinus-Funktion. Es gilt:

\begin{align*} -\sin(x) &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx}\Bigl[\cos(x)\Bigr] \\[0.75em] \sin(x) &\overset{(2)}{=} -\frac{d}{dx}\Bigl[\cos(x)\Bigr] \\[1.5em] \Rightarrow\quad\int{\sin(x)\ dx} &\overset{(3)}{=} -\int{\frac{d}{dx}\Bigl[\cos(x)\Bigr]\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} -\cos(x) + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Multiplikation der Gleichung mit $-1$
(3)
(4)
  • Auswerten des Integrals: Die Stammfunktion von $\frac{d}{dx}\bigl[f(x)\bigr]$ ist $f(x)$
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Herleitung der Integrationsregel von sin-1(x)

Die Stammfunktion von $\sin^{-1}(x) = \frac{1}{\sin(x)}$ lässt sich mithilfe einer Integration durch Substitution und anschließender Partialbruchzerlegung bestimmen. Zunächst wird die Funktion umgeformt:

\begin{align*} \int{\sin^{-1}(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\frac{1}{\sin(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int{\frac{\sin(x)}{\sin^2(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \int{\frac{\sin(x)}{1 - \cos^2(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \int{\frac{-1}{1 - t^2}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \int{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t-1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t+1}\right)\ dt} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{1}{2} \cdot \int{ \frac{1}{t-1}\ dt} - \frac{1}{2} \cdot \int{ \frac{1}{t+1}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| t-1 \bigr| - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| t+1 \bigr| \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \cos(x)-1 \bigr| - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \cos(x)+1 \bigr| + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben der Potenz mithilfe der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
(2)
  • Erweitern mit $\sin(x)$
(3)
  • Ersetzen von $\sin^2(x)$ durch $1 - \cos^2(x)$ mithilfe der trigonometrischen Identität $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$
(4)
  • Anwenden von Integration durch Substitution
  • Ersetzen von $t = \cos(x)$
  • Mithilfe der Ableitungsregel der Kosinus-Funktion ergibt sich:
    \begin{align*} dt &= -\sin(x)\ dx \\[0.75em] \Rightarrow\quad \sin(x)\ dx &= -1\ dt \end{align*}
(5)
  • Bestimmen einer Partialbruchzerlegung für die rationale Funktion; es gilt:
    \[ \frac{-1}{1-t^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t-1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t+1} \]
(6)
(7)
(8)
  • Resubstitution von $t = \cos(x)$
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Weitere Form der Stammfunktion

Die erhaltene Stammfunktion lässt sich unter anderem mithilfe der Logarithmus- und Potenzgesetze sowie den Halbwinkelidentitäten in die folgende kompaktere Form überführen:

\begin{align*} \int{\sin^{-1}(x)\ dx} &\overset{(8)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \cos(x)-1 \bigr| - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \cos(x)+1 \bigr| \\[0.75em] &\overset{(9)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\left| \frac{\cos(x) - 1}{\cos(x) + 1} \right| \\[0.75em] &\overset{(10)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\left| \frac{-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)} \right| \\[0.75em] &\overset{(11)}{=} \frac{1}{2} \cdot \ln\left| \tan^2\left(\frac{x}{2}\right) \right| \\[0.75em] &\overset{(12)}{=} \ln \left| \tan\left(\frac{x}{2}\right) \right| + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(9)
(10)
  • Ersetzen von Zähler und Nenner mithilfe der Halbwinkelidentitäten:
    \begin{align*} \cos(x) - 1 &= -2 \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) \\[0.75em] \cos(x) + 1 &= 2 \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \end{align*}
(11)
  • Kürzen des Faktors $2$ im Betrag
  • Entfernen des Vorzeichens im Betrag
  • Umschreiben zu $\tan^2$ mithilfe von Potenzgesetz II-b und der Definition der Tangens-Funktion:
    \[ \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = {\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)}^2 = \tan^2(x) \]
(12)
  • Anwenden von Logarithmusgesetz II und Zusammenfassen der Konstanten
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Hinweis: Bei $\sin^{-1}$ handelt es sich um die Kosekans-Funktion $\csc$. Bei der Integrationsregel für $\sin^{-1}$ handelt es sich somit ebenfals um die Integrationsregel der Kosekans-Funktion.

Herleitung der Integrationsregel von sinn(x) für n > 1

Für positive ganzzahlige Exponenten $n \gt 1$ können Potenzen der Sinus-Funktion nicht direkt integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Stattdessen kann eine Rekursionsformel hergeleitet werden, die das Integral $\int{\sin^n(x)\ dx}$ auf das einfachere Integral $\int{\sin^{n-2}(x)\ dx}$ zurückführt. Die Herleitung erfolgt mithilfe von partieller Integration.

\begin{align*} \int{\sin^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\sin(x) \cdot \sin^{n-1}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} -\cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) - \int{-\cos(x) \cdot (n-1) \cdot \sin^{n-2}(x) \cdot \cos(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} -\cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\cos^2(x) \cdot \sin^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} -\cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\bigl(1 - \sin^2(x)\bigr) \cdot \sin^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} -\cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \left( \int{\sin^{n-2}(x)\ dx} - \int{\sin^2(x) \cdot \sin^{n-2}(x)\ dx} \right) \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} -\cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\sin^{n-2}(x)\ dx} - (n-1) \cdot \int{\sin^n(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben von $\sin^n(x)$ zu $\sin(x) \cdot \sin^{n-1}(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
(2)
(3)
  • Herausziehen des konstanten Faktors $-(n-1)$ mithilfe der Faktorregel für Integrale
  • Zusammenfassen von $\cos(x) \cdot \cos(x)$ zu $\cos^2(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
(4)
  • Ersetzen von $\cos^2(x)$ durch $1 - \sin^2(x)$ mithilfe der trigonometrischen Identität $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$
(5)
(6)
  • Zusammenfassen von $\sin^2(x) \cdot \sin^{n-2}(x)$ zu $\sin^n(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
  • Auflösen der Klammern

In der gefundenen Formel taucht das Integral $\int{\sin^n(x)\ dx}$ auf beiden Seiten mit unterschiedlicher Vielfachheit auf. Abschließendes Umstellen liefert die gesuchte Rekursionsformel:

\begin{align*} \int{\sin^n(x)\ dx} + (n-1) \cdot \int{\sin^n(x)\ dx} &\overset{(7)}{=} -\cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\sin^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] n \cdot \int{\sin^n(x)\ dx} &\overset{(8)}{=} -\cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\sin^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\sin^n(x)\ dx} &\overset{(9)}{=} -\frac{1}{n} \cdot \cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\sin^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(7)
  • Addition von $(n-1) \cdot \int{\sin^n(x)\ dx}$ auf beiden Seiten der Gleichung
(8)
  • Ausklammern von $\int{\sin^n(x)\ dx}$ auf der linken Seite der Gleichung mithilfe des Distributivgesetzes
(9)
  • Division beider Seiten durch $n$

Die gesuchte Rekursionsformel für $n \gt 1$ lautet damit:

\[ \int{\sin^n(x)\ dx} = -\frac{1}{n} \cdot \cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\sin^{n-2}(x)\ dx} \]

Diese Formel führt das Integral $\int{\sin^n(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\sin^{n-2}(x)\ dx}$ zurück (für $n \gt 1$), dessen Exponent $n-2$ stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $n$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $0$ oder $1$ gebracht. Beide Fälle fungieren als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da sie eine bekannte Stammfunktion besitzen – und erlauben somit ein vollständiges Auflösen des Integrals:

\begin{align*} \int{\sin(x)\ dx} &= -\cos(x) + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\sin^0(x)\ dx} &= \int{1\ dx} = x + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von sinn(x) für n < -1

Für negative ganzzahlige Exponenten $n \lt -1$ können Potenzen der Sinus-Funktion nicht direkt integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Stattdessen kann eine Rekursionsformel hergeleitet werden, die das Integral $\int{\sin^n(x)\ dx}$ auf ein einfacheres Integral zurückführt. Sie ergibt sich direkt durch algebraisches Umformen der bereits bekannten Formel für $n \gt 1$. Es gilt:

\begin{align*} \int{\sin^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} -\frac{1}{n} \cdot \cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\sin^{n-2}(x)\ dx} \\[1.55em] \Rightarrow \frac{n-1}{n} \cdot \int{\sin^{n-2}(x)\ dx} &\overset{(2)}{=} \frac{1}{n} \cdot \cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + \int{\sin^n(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\sin^{n-2}(x)\ dx} &\overset{(3)}{=} \frac{1}{n-1} \cdot \cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + \frac{n}{n-1} \cdot \int{\sin^{n}(x)\ dx} \\[1.5em] \Rightarrow\ \int{\sin^{m}(x)\ dx} &\overset{(4)}{=} \frac{1}{m+1} \cdot \cos(x) \cdot \sin^{m+1}(x) + \frac{m+2}{m+1} \cdot \int{\sin^{m+2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Rekursionsformel für den Fall $n \gt 1$
(2)
  • Umstellen nach $\frac{n-1}{n} \cdot \int{\sin^{n-2}(x)\ dx}$
(3)
  • Multiplikation der Gleichung mit $\frac{n}{n-1}$
(4)
  • Substitution von $m = n-2$

Die erhaltene Formel führt das Integral $\int{\sin^m(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\sin^{m+2}(x)\ dx}$ zurück (für $m \lt -1$), dessen Exponent $m+2$ betragsmäßig stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $m$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $-1$ oder $0$ gebracht. Beide Fälle fungieren als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da sie eine bekannte Stammfunktion besitzen – und erlauben somit ein vollständiges Auflösen des Integrals:

\begin{align*} \int{\sin^{-1}(x)\ dx} &= \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \cos(x) - 1 \bigr| - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl| \cos(x) + 1 \bigr| + \mathcal{C} \\[0.75em] &= \ln \left| \tan\left(\frac{x}{2}\right) \right| + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\sin^0(x)\ dx} &= \int{1\ dx} = x + \mathcal{C} \end{align*}