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Integrationsregel für Sinus

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Herleitung der Stammfunktion für $\sin^n(x)$ (für $n > 1$)

Die Stammfunktion für $\sin^n(x)$ (mit $n > 1$) wird mithilfe von partieller Integration hergeleitet:

\begin{align*} \int{\sin^n(x)\ dx} &= \int{\sin(x) \cdot \sin^{n-1}(x)\ dx} \\[0.75em] &= -\cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) - \int{-\cos(x) \cdot (n-1) \cdot \sin^{n-2}(x) \cdot \cos(x)\ dx} \\[0.75em] &= -\cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\cos^2(x) \cdot \sin^{n-2}(x)\ dx}. \end{align*}

Unter Verwendung der Identität $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ folgt:

\begin{align*} \int{\sin^n(x)\ dx} &= -\cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{{\left( 1 - \sin^2(x) \right)} \cdot \sin^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= -\cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\sin^{n-2}(x)\ dx} - (n-1) \cdot \int{\sin^2(x) \cdot \sin^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= -\cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\sin^{n-2}(x)\ dx} - (n-1) \cdot \int{\sin^n(x)\ dx}. \end{align*}

Anschließend wird nach $\int{\sin^n(x)\ dx}$ umgestellt:

\begin{align*} \bigl(1 + (n-1)\bigr) \cdot \int{\sin^n(x)\ dx} &= -\cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\sin^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] n \cdot \int{\sin^n(x)\ dx} &= -\cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + (n-1) \cdot \int{\sin^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\sin^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n} \cdot \cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\sin^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}

Die Stammfunktion für $\sin^n(x)$ (mit $n < -1$) kann durch Umstellen der Formel für $n > 1$ hergeleitet werden.

\int{\sin^n(x)\ dx} = -\frac{1}{n} \cdot \cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\sin^{n-2}(x)\ dx}

Umstellen nach $\int{\sin^{n-2}(x)\ dx}$:

\begin{align*} \frac{n-1}{n} \cdot \int{\sin^{n-2}(x)\ dx} &= \frac{1}{n} \cdot \cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + \int{\sin^n(x)\ dx} \\[0.75em] \int{\sin^{n-2}(x)\ dx} &= \frac{1}{n-1} \cdot \cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + \frac{n}{n-1} \int{\sin^n(x)\ dx} \end{align*}

Substitution $m=n-2$:

\int{\sin^{m}(x)\ dx} = \frac{1}{m+1} \cdot \cos(x) \cdot \sin^{m+1}(x) + \frac{m+2}{m+1} \int{\sin^{m+2}(x)\ dx}

Zunächst wird die Ausgangsfunktion mit $\sin(x)$ erweitert und unter Verwendung der Identität $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ umgeformt:

\begin{align*} \int{\frac{1}{\sin(x)}\ dx} &= \int{\frac{\sin(x)}{\sin^2(x)}\ dx} \\[0.75em] &= \int{\frac{\sin(x)}{1 - \cos^2(x)}\ dx}. \end{align*}

Anschließend wird mit $t = \cos(x)$ substituiert. Aus $t = \cos(x)$ folgt $dt = -\sin(x)\ dx$. Die entstandene rationale Funktion wird integriert:

\begin{align*} \int{\frac{\sin(x)}{1 - \cos^2(x)}\ dx} &= \int{\frac{-1}{1 - t^2}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \ln{|t-1|} - \frac{1}{2} \ln{|t+1|}. \end{align*}

Abschließende Resubstitution liefert das gewünschte Ergebnis:

\int{\frac{1}{\sin(x)}\ dx} = \frac{1}{2} \ln{|\cos(x)-1|} - \frac{1}{2} \ln{|\cos(x)+1|}.