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Wurzelfunktion

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Graphen der geraden Wurzelfunktionen $\sqrt{x}$, $\sqrt[4]{x}$, $\sqrt[6]{x}$ und $\sqrt[8]{x}$

??GraphOdd??

Graphen der ungeraden Wurzelfunktionen $\sqrt[3]{x}$, $\sqrt[5]{x}$, $\sqrt[7]{x}$ und $\sqrt[9]{x}$

	gerade Wurzeln	ungerade Wurzeln
Definitionsbereich	$0 \leq x \lt \infty$	$-\infty \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$0 \leq \sqrt[n]{x} \lt \infty$	$-\infty \lt \sqrt[n]{x} \lt \infty$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	streng monoton steigend
Krümmung	streng konkav	streng konvex für $x \lt 0$ streng konkav für $x \gt 0$
Symmetrien	keine	punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Asymptoten	keine	keine
Nullstellen	$x_0=0$	$x_0=0$
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	keine	Wendepunkt bei $x=0$

Die Ableitung der Wurzelfunktion lautet:

\begin{align*} \Bigl[ \sqrt{x} \Bigr]' &= \frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} \\[0.75em] \Bigl[ \sqrt[n]{x} \Bigr]' &= \frac{d}{dx} \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}} = \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n}-1} \end{align*}

Die Stammfunktion der Wurzelfunktion lautet:

\begin{align*} \int{\sqrt{x}\ dx} &= \frac{2}{3} \cdot \sqrt{x^3} + \mathcal{C} = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\sqrt[n]{x}\ dx} &= \frac{n}{n+1} \cdot \sqrt[n]{x^{n+1}} + \mathcal{C} = \frac{n}{n+1} \cdot x^{\frac{n+1}{n}} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \end{align*}