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Wurzelfunktion
Herleitung der Ableitung von $\sqrt{x}$
Zur Bestimmung der Ableitung von $\sqrt{x}$ wird dieses als Potenz aufgefasst und mithilfe der Ableitungsregeln für Potenzen abgeleitet.
Es gilt:
\begin{align} {\Bigl[ \sqrt{x} \Bigr]}' &= {\left[ x^{\frac{1}{2}} \right]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} \\[0.75em] &= \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \end{align}
Herleitung der Ableitung von $\sqrt[n]{x}$
Zur Bestimmung der Ableitung von $\sqrt[n]{x}$ wird dieses als Potenz aufgefasst und mithilfe der Ableitungsregeln für Potenzen abgeleitet.
Es gilt:
\begin{align} {\Bigl[ \sqrt[n]{x} \Bigr]}' &= {\left[ x^{\frac{1}{n}} \right]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1-n}{n}} \\[0.75em] &= \frac{1}{n} \cdot x^{-\frac{n-1}{n}} \\[0.75em] &= \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}} \end{align}