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Summenregel

Die Summenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung, die beschreibt, wie die Berechnung der Ableitung einer Summe aus zwei oder mehreren Funktionen auf die Berechnung der Ableitungen der einzelnen Funktionen zurückgeführt werden kann.

Inhalt

Definition
Beispiele
Beweis der Summenregel

Definition

Gegeben seien ein Intervall $D$ der reellen oder der komplexen Zahlen sowie zwei auf diesem Intervall definierte Funktionen $u$ und $v$. Sind die Funktionen $u,v$ an einer Stelle $x_0 \in D$ differenzierbar, so ist auch die Funktion $f(x) = u(x) \pm v(x)$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar und es gilt

f'(x_0) = u'(x_0) \pm v'(x_0).

Oder kurz:

f' = {[u \pm v]}' = u' \pm v'.

Allgemein: Für Summen mit $n$ Summanden gilt analog:

f' = {[f_1 \pm \ldots \pm f_n]}' = f_1' \pm \ldots \pm f_n'.

Beispiele

Beweis der Summenregel

Beweis für Summen mit 2 Summanden

Zunächst wird die Summenregel für Funktionen $f(x)=u(x)+v(x)$ mit $n=2$ Summanden bewiesen, indem sie direkt aus dem Grenzwert des Differenzenquotienten hergeleitet wird:

\begin{align*} f'(x_0) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\Bigl( u(x_0+h) \pm v(x_0+h) \Bigr) - \Bigl( u(x_0) \pm v(x_0) \Bigr)}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{ u(x_0+h) \pm v(x_0+h) - u(x_0) \mp v(x_0)}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\Bigl( u(x_0+h) - u(x_0) \Bigr) \pm \Bigl( v(x_0+h) - v(x_0) \Bigr)}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(x_0+h) - u(x_0)}{h} \right)} \pm \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{v(x_0+h) - v(x_0)}{h} \right)} \\[0.75em] &= u'(x_0) \pm v'(x_0) \end{align*}

Beweis für Summen mit beliebig vielen Summanden

Der Beweis der allgemeinen Summenregel für Funktionen $f=f_1 \pm \ldots \pm f_n$ mit $n \gt 2$ Summanden ergibt sich direkt aus dem Beweis für $n=2$ Summanden und der Tatsache, dass der Fall $n>2$ auf den Fall $n=2$ zurückgeführt wird.