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Summenregel

Die Summenregel ist eine grundlegende Regel der Integralrechnung, die beschreibt, wie die Berechnung des Integrals einer Summe aus zwei oder mehreren Funktionen auf die Berechnung der Integrale der einzelnen Funktionen zurückgeführt werden kann.

Inhalt

Definition

Gegeben seien ein Intervall $[a,b]$ der reellen Zahlen sowie zwei auf diesem Intervall definierte Funktionen $u$ und $v$. Sind die Funktionen $u,v$ in $[a,b]$ stetig und integrierbar, so gilt für die Summe (bzw. Differenz) $u \pm v$:

\[ \int{\Bigl( u(x) \pm v(x) \Bigr)\ dx} = \int{u(x)\ dx} \pm \int{v(x)\ dx} \]

Oder kurz:

\[ \int{\Bigl( u + v \Bigr)} = \int{u} + \int{v} \]

Allgemein: Für Summen mit $k$ Summanden gilt analog:

\[ \int{\Bigl( f_1 + \ldots + f_k \Bigr)} = \int{f_1} + \ldots + \int{f_k} \]

Beispiele

Beweis der Summenregel

Beweis für Summen mit 2 Summanden

Zunächst soll die Summenregel für Funktionen $f(x) = u(x) \pm v(x)$ mit 2 Summanden bewiesen werden, indem sie direkt über den Grenzwert der Obersumme hergeleitet wird. Hierzu wird das Intervall $[a,b]$ auf $n$ Teilintervalle aufgeteilt. Das $i$-te Teilintervall sei durch $x_i$ und $x_{i+1}$ (mit $x_i \lt x_{i+1}$) begrenzt. Mit $\xi_i$ sei der größte im Intervall $[x_i, x_{i+1}]$ vorkommende Funktionswert bezeichnet. Dann gilt:

\begin{align*} \int\limits_a^b{\Bigl( u(x) \pm v(x) \Bigr)\ dx} &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( \sum\limits_{i=0}^{n-1}{\bigl( x_{i+1}-x_i \bigr) \cdot \bigl( u(\xi_i) \pm v(\xi_i) \bigr)} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( \sum\limits_{i=0}^{n-1}{\Bigl( \bigl( x_{i+1}-x_i \bigr) \cdot u(\xi_i) \pm \bigl( x_{i+1}-x_i \bigr) \cdot v(\xi_i) \Bigr) } \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( \sum\limits_{i=0}^{n-1}{\bigl( x_{i+1}-x_i \bigr) \cdot u(\xi_i)} \pm \sum\limits_{i=0}^{n-1}{\bigl( x_{i+1}-x_i \bigr) \cdot v(\xi_i) } \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( \sum\limits_{i=0}^{n-1}{\bigl( x_{i+1}-x_i \bigr) \cdot u(\xi_i)} \right)} \pm \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left(\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\bigl( x_{i+1}-x_i \bigr) \cdot v(\xi_i) } \right)} \\[0.75em] &= \int\limits_a^b{u(x)\ dx} \pm \int\limits_a^b{v(x)\ dx} \end{align*}

Beweis für Summen mit beliebig vielen Summanden

Die Gültigkeit der allgemeinen Summenregel für Funktionen $f=f_1 \pm \ldots \pm f_k$ mit $k \gt 2$ Summanden kann nach demselben Schema gezeigt werden.

Die allgemeine Summenregel kann ebenfalls durch Zurückführen auf den Fall $k=2$ gezeigt werden.