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Tangens (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Tangens-Funktion (abgekürzt: tan) lässt sich nicht direkt durch eine der elementaren Integrationsregeln bestimmen, da die Tangens-Funktion keiner Standardform entspricht. Sie kann jedoch durch Ausnutzen der Definition der Tangens-Funktion sowie der Integration durch Substitution hergeleitet werden. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Herleitung der Stammfunktion, demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen und beschäftigt sich mit den Integrationsregeln für ganzzahlige Potenzen der Tangens-Funktion.

Grundlagen

Die Tangens-Funktion ist eine der grundlegenden trigonometrischen Funktionen. Sie kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$) als Quotient der Sinus-Funktion und der Kosinus-Funktion dargestellt werden.

\[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]

Integrationsregel

Die Stammfunktion der Tangens-Funktion (abgekürzt: tan) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}$ (für $k \in \Z$) wie folgt definiert:

\begin{align*} \int{\tan(x)\ dx} &= -\ln \bigl| \cos(x) \bigr| + \mathcal{C} \\[0.75em] &= \ln \bigl| \sec(x) \bigr| + \mathcal{C} \end{align*}

Für Potenzen der Tangens-Funktion mit ganzzahligen Exponenten existieren darüber hinaus die folgenden Integrationsregeln:

\begin{align*} \int{\tan^{-1}(x)\ dx} &= \ln \bigl| \sin(x) \bigr| + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\tan^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n-1} \cdot \tan^{n-1}(x) - \int{\tan^{n-2}(x)\ dx} \quad(\text{für } n \gt 1) \\[0.75em] \int{\tan^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n+1} \cdot \tan^{n+1}(x) - \int{\tan^{n+2}(x)\ dx} \quad(\text{für } n \lt -1) \end{align*}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Bei $\tan^{-1}$ handelt es sich um den Kehrwert $\frac{1}{\tan}$ der Tangens-Funktion – und nicht um die Arkustangens-Funktion.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Tangens-Funktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \tan(3x) \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $f(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=3x$ substituiert, woraus sich $dt = 3\ dx$ bzw. $dx = \frac{1}{3}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\tan(3x)\ dx} \\[0.75em] &= \int{\tan(t) \cdot \frac{1}{3}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{3} \cdot \int{\tan(t)\ dt} \\[0.75em] &= -\frac{1}{3} \cdot \ln\bigl|\cos(t)\bigr| \\[0.75em] &= -\frac{1}{3} \cdot \ln\bigl|\cos(3x)\bigr| + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Tangens-Funktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \tan\left(x^2 + 1\right) \cdot x \]

Mithilfe der Integration durch Substitution und der Faktorregel für Integrale ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion von $g(x)$ die folgende Lösung. Hierbei wird $t=x^2+1$ substituiert, woraus sich $dt = 2x\ dx$ bzw. $x\ dx = \frac{1}{2}\ dt$ ergibt.

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\tan\left(x^2+1\right) \cdot x\ dx} \\[0.75em] &= \int{\tan(t) \cdot \frac{1}{2}\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \int{\tan(t)\ dt} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl|\cos(t)\bigr| \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \ln\left|\cos\left(x^2+1\right)\right| + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 3

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Stammfunktion mithilfe der Integrationsregel der Tangens-Funktion bestimmt werden soll:

\[ h(x) = \tan^5(x) \]

Die Funktion $\tan^5(x)$ kann nicht unmittelbar integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Das Integral kann jedoch durch zweifaches Anwenden der Rekursionsformel für $n \gt 1$ zunächst umgeformt (bzw. vereinfacht) und anschließend aufgelöst werden, nachdem der Exponent auf $1$ reduziert wurde. Es gilt:

\begin{align*} \int{h(x)\ dx} &\overset{\phantom{(n=5)}}{=} \int{\tan^5(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=5)}{=} \frac{1}{4} \cdot \tan^4(x) - \int{\tan^3(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(n=3)}{=} \frac{1}{4} \cdot \tan^4(x) - \left( \frac{1}{2} \cdot \tan^2(x) - \int{\tan(x)\ dx} \right) \\[0.75em] &\overset{(n=1)}{=} \frac{1}{4} \cdot \tan^4(x) - \left( \frac{1}{2} \cdot \tan^2(x) - \Bigl( -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| \Bigr) \right) \\[0.75em] &\overset{\phantom{(n=1)}}{=} \frac{1}{4} \cdot \tan^4(x) - \frac{1}{2} \cdot \tan^2(x) - \ln\bigl|\cos(x)\bigr| + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von tan(x)

Die Herleitung der Integrationsregel bzw. der Stammfunktion der Tangens-Funktion erfolgt auf Grundlage der Eigenschaft, dass die Tangens-Funktion sich als Quotient der Sinus-Funktion und der Kosinus-Funktion ergibt. Für die Herleitung der gesuchten Stammfunktion wird die Funktion zunächst leicht umgeformt und anschließend eine Integration durch Substitution durchgeführt; hierfür wird unter anderem die Ableitungsregel der Kosinus-Funktion benötigt. Es gilt:

\begin{align*} \int{\tan(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int{\frac{-1}{t}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} -\int{\frac{1}{t}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} -\ln \bigl| t \bigr| \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} -\ln \bigl| \cos(x) \bigr| + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Anwenden von Integration durch Substitution
  • Ersetzen von $t = \cos(x)$
  • Mithilfe der Ableitungsregel der Kosinus-Funktion ergibt sich:
    \begin{align*} dt &= -\sin(x)\ dx \\[0.75em] \Rightarrow\quad \sin(x)\ dx &= -1\ dt \end{align*}
(3)
(4)
(5)
  • Resubstitution von $t = \cos(x)$
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Weitere Form der Stammfunktion

Die erhaltene Stammfunktion $-\ln \left| \cos(x) \right|$ kann mithilfe der Definition der Sekans-Funktion und der Logarithmusgesetze in die folgende äquivalente Form überführt werden:

\begin{align*} \int{\tan(x)\ dx} &\overset{(5)}{=} -\ln \bigl| \cos(x) \bigr| \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \ln {\bigl| \cos(x) \bigr|}^{-1} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \ln \left| \frac{1}{\cos(x)} \right| \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} \ln \bigl| \sec(x) \bigr| + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(6)
(7)
  • Umschreiben von $ {\bigl| \cos(x) \bigr|}^{-1}$ zu $\left| \frac{1}{\cos(x)} \right|$
(8)
  • Ersetzen von $\frac{1}{\cos(x)}$ durch $\sec(x)$ gemäß Definition der Sekans-Funktion
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Herleitung der Integrationsregel von tan-1(x)

Die Stammfunktion von $\tan^{-1}(x) = \frac{1}{\tan(x)}$ lässt sich ebenfalls durch Verwenden der Definition der Tangens-Funktion und anschließende Integration durch Substitution bestimmen. Es gilt:

\begin{align*} \int{\tan^{-1}(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\frac{1}{\tan(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int{\frac{1}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \int{\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \int{\frac{1}{t}\ dt} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \ln \bigl| t \bigr| \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \ln \bigl| \sin(x) \bigr| + \mathcal{C} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben der Potenz mithilfe der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
(2)
  • Einsetzen der Definition der Tangens-Funktion
(3)
  • Auflösen des Doppelbruchs
(4)
(5)
(6)
  • Resubstitution von $t = \sin(x)$
  • Hinzufügen der Integrationskonstante $\mathcal{C}$

Hinweis: Bei $\tan^{-1}$ handelt es sich um die Kotangens-Funktion $\cot$. Bei der Integrationsregel für $\tan^{-1}$ handelt es sich somit ebenfalls um die Integrationsregel der Kotangens-Funktion.

Herleitung der Integrationsregel von tann(x) für n > 1

Für positive ganzzahlige Exponenten $n \gt 1$ können Potenzen der Tangens-Funktion nicht direkt integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Stattdessen kann eine Rekursionsformel hergeleitet werden, die das Integral $\int{\tan^n(x)\ dx}$ auf das einfachere Integral $\int{\tan^{n-2}(x)\ dx}$ zurückführt. Die Herleitung erfolgt mithilfe einer Integration durch Substitution.

\begin{align*} \int{\tan^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \int{\tan^2(x) \cdot \tan^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \int{\left( \frac{1}{\cos^2(x)} - 1 \right) \cdot \tan^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \int{\frac{\tan^{n-2}(x)}{\cos^2(x)}\ dx} - \int{ \tan^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \int{t^{n-2}\ dt} - \int{\tan^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \frac{1}{n-1} \cdot t^{n-1} - \int{\tan^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{1}{n-1} \cdot \tan^{n-1}(x) - \int{\tan^{n-2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben von $\tan^n(x)$ zu $\tan^2(x) \cdot \tan^{n-2}(x)$ mithilfe von Potenzgesetz I-a
(2)
  • Ersetzen von $\tan^2(x)$ durch $\frac{1}{\cos^2(x)} - 1$
  • Dies folgt aus der trigonometrischen Identität $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ – dem trigonometrischen Pythagoras; es gilt:
    \begin{align*} \tan^2(x) &= \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{1 - \cos^2(x)}{\cos^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{1}{\cos^2(x)} - 1 \end{align*}
(3)
(4)
(5)
(6)
  • Resubstitution von $t = \tan(x)$

Die gesuchte Rekursionsformel für $n \gt 1$ lautet damit:

\[ \int{\tan^n(x)\ dx} = \frac{1}{n-1} \cdot \tan^{n-1}(x) - \int{\tan^{n-2}(x)\ dx} \]

Diese Formel führt das Integral $\int{\tan^n(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\tan^{n-2}(x)\ dx}$ zurück (für $n \gt 1$), dessen Exponent $n-2$ stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $n$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $0$ oder $1$ gebracht. Beide Fälle fungieren als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da sie eine bekannte Stammfunktion besitzen – und erlauben somit ein vollständiges Auflösen des Integrals:

\begin{align*} \int{\tan(x)\ dx} &= -\ln \bigl| \cos(x) \bigr| + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\tan^0(x)\ dx} &= \int{1\ dx} = x + \mathcal{C} \end{align*}

Herleitung der Integrationsregel von tann(x) für n < -1

Für negative ganzzahlige Exponenten $n \lt -1$ können Potenzen der Tangens-Funktion nicht direkt integriert werden, da hierfür keine explizite Integrationsregel existiert. Stattdessen kann eine Rekursionsformel hergeleitet werden, die das Integral $\int{\tan^n(x)\ dx}$ auf ein einfacheres Integral zurückführt. Sie ergibt sich direkt durch algebraisches Umformen der bereits bekannten Formel für $n \gt 1$. Es gilt:

\begin{align*} \int{\tan^n(x)\ dx} &\overset{(1)}{=} \frac{1}{n-1} \cdot \tan^{n-1}(x) - \int{\tan^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] \Rightarrow\ \int{\tan^{n-2}(x)\ dx} &\overset{(2)}{=}\frac{1}{n-1} \cdot \tan^{n-1}(x) - \int{\tan^{n}(x)\ dx} \\[1.5em] \Rightarrow\ \int{\tan^{m}(x)\ dx} &\overset{(3)}{=} \frac{1}{m+1} \cdot \tan^{m+1}(x) - \int{\tan^{m+2}(x)\ dx} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Rekursionsformel für den Fall $n > 1$
(2)
  • Umstellen nach $\int{\tan^{n-2}(x)\ dx}$
(3)
  • Substitution von $m = n-2$

Die erhaltene Formel führt das Integral $\int{\tan^m(x)\ dx}$ auf das Integral $\int{\tan^{m+2}(x)\ dx}$ zurück (für $m \lt -1$), dessen Exponent $m+2$ betragsmäßig stets kleiner als der ursprüngliche Exponent $m$ ist. Durch wiederholtes Anwenden wird der Exponent schrittweise auf $-1$ oder $0$ gebracht. Beide Fälle fungieren als Rekursionsanker bzw. Basisfall, da sie eine bekannte Stammfunktion besitzen – und erlauben somit ein vollständiges Auflösen des Integrals:

\begin{align*} \int{\tan^{-1}(x)\ dx} &= \ln \bigl| \sin(x) \bigr| + \mathcal{C} \\[0.75em] \int{\tan^0(x)\ dx} &= \int{1\ dx} = x + \mathcal{C} \end{align*}