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Integrationsregel für Tangens
Herleitung der Stammfunktion von $\tan(x)$
Unter Zuhilfenahme der Definition des Tangens kann $\displaystyle\int{\tan(x)\ dx}$ wie folgt umgeschrieben werden:
\begin{align*} \int{\tan(x)\ dx} &= \int{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\ dx} \\[0.75em] &= -\int{\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}\ dx}. \end{align*}
Anschließend wird mit $t = \cos(x)$ substituiert. Aus $t = \cos(x)$ folgt $dt = -\sin(x)\ dt$.
\begin{align*} \int{\tan(x)\ dx} &= -\int{\frac{1}{t}\ dt} \\[0.75em] &= -\ln \bigl| t \bigr| \end{align*}
Die abschließende Resubstitution liefert das gesuchte Ergebnis:
\[ \int{\tan(x)\ dx} = -\ln \Bigl| \cos(x) \Bigr| \]
Herleitung der Stammfunktion von $\tan^{-1}(x) = \frac{1}{\tan(x)}$
Unter Zuhilfenahme der Definition des Tangens kann $\displaystyle\int{\frac{1}{\tan(x)}\ dx}$ wie folgt umgeschrieben werden:
\begin{align*} \int{\frac{1}{\tan(x)}\ dx} &= \int{\frac{1}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}\ dx} \\[0.75em] &= \int{\frac{\cos{x}}{\sin{x}} \ dx} \end{align*}
Anschließend wird mit $t = \sin(x)$ substituiert. Aus $t = \sin(x)$ folgt $dt = \cos(x)\ dt$.
\begin{align*} \int{\frac{1}{\tan(x)}\ dx} &= \int{\frac{1}{t}\ dt} \\[0.75em] &= \ln |t| \end{align*}
Die abschließende Resubstitution liefert das gesuchte Ergebnis:
\[ \int{\frac{1}{\tan(x)}\ dx} = \ln \Bigl| \sin(x) \Bigr| \]
Herleitung der Stammfunktion von $\tan^n(x)$ (für $n > 1$)
Zum Bestimmen einer Rekursionsformel für $\displaystyle\int{\tan^n(x)\ dx}$ wird dieses zunächst umgeschrieben. Es gilt:
\[ \int{\tan^n(x)\ dx} = \int{\tan^2(x) \cdot \tan^{n-2}(x) \ dx}. \]
Aufgrund der Definition $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ und der Identität $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ gilt die folgende Gleichheit:
\[ \tan^2(x) = {\left( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \right)}^2 = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1 - \cos^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} - 1 \]
Einsetzen in das umgeformte Integral und Aufteilen auf zwei Integrale ergibt:
\begin{align*} \int{\tan^n(x)\ dx} &= \int{\left( \frac{1}{\cos^2(x)} - 1 \right) \cdot \tan^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \int{\frac{\tan^{n-2}(x)}{\cos^2(x)}\ dx} - \int{\tan^{n-2}(x)\ dx}. \end{align*}
Nun wird im ersten Integral auf der rechten Seite mit $t = \tan(x)$ substituiert. Aus $t = \tan(x)$ folgt $dx = \cos^2(x)\ dt$.
\begin{align*} \int{\tan^n(x)\ dx} &= \int{\frac{t^{n-2} \cdot {\color{fuchsia} \cos^2(x)}}{{\color{fuchsia} \cos^2(x)}}\ dt} - \int{\tan^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \int{t^{n-2}\ dt} - \int{\tan^{n-2}(x)\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{n-1} \cdot t^{n-1} - \int{\tan^{n-2}(x)\ dx}. \end{align*}
Die abschließende Resubstitution liefert die gesuchte Rekursionsformel:
\[ \int{\tan^n(x)\ dx} = \frac{1}{n-1} \cdot \tan^{n-1}(x) - \int{\tan^{n-2}(x)\ dx}. \]
Herleitung der Stammfunktion von $\tan^n(x)$ (für $n < -1$)
Die Stammfunktion für $\tan^n(x)$ (mit $n < -1$) kann durch Umstellen der Formel für $n > 1$ hergeleitet werden.
\[ \int{\tan^n(x)\ dx} = \frac{1}{n-1} \cdot \tan^{n-1}(x) - \int{\tan^{n-2}(x)\ dx} \]
Umstellen nach $\int{\tan^{n-2}(x)\ dx}$:
\[ \int{\tan^{n-2}(x)\ dx} = \frac{1}{n-1} \cdot \tan^{n-1}(x) - \int{\tan^n(x)\ dx} \]
Substitution $m=n-2$:
\[ \int{\tan^{m}(x)\ dx} = \frac{1}{m+1} \cdot \tan^{m+1}(x) - \int{\tan^{m+2}(x)\ dx} \]
