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Ableitungsregel für Tangens
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Herleitung
Die Bestimmung der Ableitung von $\tan(x)$ wird ausgehend von der Definition $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ vorgenommen.
Es gilt:
\begin{align*} {\Bigl[ \tan(x) \Bigr]}' &= {\left[ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \right]}' \\[0.75em] &= \frac{{\left[ \sin(x) \right]}' \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot {\left[ \cos(x) \right]}'}{\cos^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{\cos(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot \left( -\sin(x) \right)}{\cos^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \end{align*}
Unter Verwendung der Identität $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ folgt direkt:
\[ {\Bigl[ \tan(x) \Bigr]}' = \frac{1}{\cos^2(x)} \]
Alternative:
\begin{align*} {\Bigl[ \tan(x) \Bigr]}' &= \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} + \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} \\[0.75em] &= 1 + {\left( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \right)}^2 \\[0.75em] &= 1 + \tan^2(x) \end{align*}