Nullring

Beim Nullring (auch trivialer Ring genannt) handelt es sich um den speziellen Ring, der nur aus dem Nullelement besteht. Dieser ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Definition

Der Nullring \(\bigl(\bigl\{0\bigr\},+,\cdot\bigr)\) ist ein Ring, der aus der einelementigen Menge \(\bigl\{0\bigr\}\) sowie einer darauf definierten Addition und einer darauf definierten Multiplikation besteht. Da die Trägermenge lediglich ein einziges Element beinhaltet, sind diese beiden Operationen wie folgt eindeutig definiert:

Beim einzigen Element \(0\) handelt es sich somit sowohl um das neutrale Element der Addition (das Nullelement) als auch um das neutrale Element der Multiplikation (das Einselement).

Eigenschaften

Kommutativität

Die Multiplikation im Nullring ist kommutativ. Beim Nullring handelt es sich folglich um einen kommutativen Ring mit Eins.

Nullteiler

Der Nullring ist nullteilerfrei, da das Nullelement definitionsgemäß kein Nullteiler ist.

Inverse Elemente

Der Nullring ist der einzige Ring, in dem das Nullelement ein inverses Element bezüglich der Multiplikation besitzt – und sogar der einzige Ring, in dem jedes Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Division

Der Nullring ist der einzige Ring, in dem die Division (die Multiplikation mit dem multiplikativen Inversen) ohne Einschränkungen für alle Elemente möglich ist. Dies gilt insbesondere auch für die Division durch \(0\); das Ergebnis ist \(0\).