Um eine Basis \(\mathfrak{B}_V\) des durch die Vektoren \(v_1,v_2,v_3\) aufgespannten Vektorraums \(V\) zu bestimmen, werden die Vektoren zunächst als Zeilen einer Matrix \(A\) aufgefasst.
\[A=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -3 \\ -2 & 2 & -1 \end{bmatrix}\]
Die Zeilenvektoren der Matrix \(A\) spannen den Zeilenraum \(Z(A)\) auf, der dem durch die Vektoren \(v_1,v_2,v_3\) aufgespannten Vektorraum \(V\) entspricht. Die erhaltene Matrix \(A\) wird anschließend in Zeilenstufenform überführt.
Das Überführen in Zeilenstufenform geschieht schrittweise mithilfe des Gauß-Algorithmus:
\[\begin{array}{rrr|l}
1 & -2 & 4 & \\[0.25em]
0 & 1 & -3 & \\[0.25em]
-2 & 2 & -1 & \text{III} + 2 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & -2 & 4 & \\[0.25em]
0 & 1 & -3 & \\[0.25em]
0 & -2 & 7 & \text{III} + 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & -2 & 4 & \\[0.25em]
0 & 1 & -3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 &
\end{array}\]
Die als Zeilenstufenform vorliegende Matrix \(A'\) kann nun im letzten Schritt direkt abgelesen werden.
\[A'=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]
Da elementare Zeilenumformungen den Zeilenraum einer Matrix nicht verändern, besitzt die Matrix \(A'\) denselben Zeilenraum wie die ursprüngliche Matrix \(A\) – es gilt somit \(Z(A')=Z(A)=V\). Der Zeilenraum \(Z(A')\) wird durch die Nicht-Nullzeilen der Matrix \(A'\) aufgespannt. Da diese aufgrund der vorliegenden Zeilenstufenform der Matrix \(A'\) zudem implizit linear unabhängig sind, handelt es sich hierbei folglich um eine Basis des Zeilenraums \(Z(A')\), und somit auch um eine Basis \(\mathfrak{B}_V\) des durch die Vektoren \(v_1,v_2,v_3\) aufgespannten Vektorraums \(V\).
\[b_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}\quad b_{2}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{bmatrix}\quad b_{3}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]\[\mathfrak{B}_V = \Bigl\{b_1,b_2,b_3\Bigr\}\]
