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Aufgaben

Charakteristisches Polynom – Interaktiver Aufgabengenerator mit Musterlösungen

Artikel zum Nachlesen: Charakteristisches Polynom

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Charakteristisches Polynom erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 3

Bestimme das charakteristische Polynom der folgenden Matrix, deren Koeffizienten aus $ \Q$ stammen:

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}\]
Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Konfiguration anpassen
Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Gib zunächst den Wertebereich an, aus dem die Elemente der Matrix stammen sollen:

Gib die Matrix ein, deren charakteristisches Polynom bestimmt werden soll:

$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Beim charakteristischen Polynom handelt es sich um die Determinante der charakteristische Matrix $\lambda E - A$. Es gilt:

\[\begin{align*}
\chi_A(\lambda)
&= \det\left(\lambda E - A\right) \\[0.75em]
&= \det\left(\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}\right) \\[0.75em]
&= \det\begin{bmatrix} \lambda - 1 & -2 \\ -3 & \lambda - 1 \end{bmatrix}
\end{align*}\]

Die Determinante kann direkt berechnet werden:

\[\begin{align*} \det(A) &= \left(\lambda - 1\right) \cdot \left(\lambda - 1\right) - \left(-2\right) \cdot \left(-3\right)\\[0.5em] &= \lambda^2 - 2\lambda - 5 \end{align*}\]

Insgesamt ergibt sich somit das folgende charakteristische Polynom:

\[\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - 2\lambda - 5\]
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen

Gib das bestimmte charakteristischen Polynom ein: