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Matrix (Mathematik)

Bei einer Matrix handelt es sich um eine rechteckige Anordnung von Elementen, d. h. um eine Anordnung der Elemente in Zeilen und Spalten. Matrizen stellen ein Schlüsselkonzept der linearen Algebra dar und tauchen in vielen Gebieten der Mathematik auf.

Sie sind unter anderem gut geeignet, um Zusammenhänge übersichtlich darzustellen, bei denen Linearkombinationen eine Rolle spielen, und finden beispielsweise bei linearen Abbildungen oder bei linearen Gleichungssystemen Anwendung. Mit Matrizen kann zudem auf bestimmte Art und Weise gerechnet werden.

Inhalt

Definition
Beispiele
Arithmetische Operationen
Weitere Operationen
Eigenschaften
Spezielle Matrizen
Anwendungen
Vektorräume von Matrizen

Definition

Matrix

Bei einer Matrix \(A \in \mathcal{R}^{m \times n}\) handelt es sich um eine rechteckige Anordnung von Elementen aus einer Menge \(\mathcal{R}\) in \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten. Die Zeilen und Spalten werden zusammenfassend auch Reihen genannt.

Matrizen werden typischerweise durch Großbuchstaben bezeichnet. Die Elemente der Matrix werden typischerweise durch runde oder eckige Klammern umschlossen.

\begin{align*} A &= \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\\[1em] &= \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \end{align*}

Oder in kurz:

\begin{align*} A &= {\Bigl( a_{ij} \Bigr)}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[1em] &= {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}}. \end{align*}

Eine Matrix mit \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten wird als Matrix vom Typ \((m,n)\) oder abkürzend auch als \((m,n)\)-Matrix bezeichnet. Darüber hinaus sind die folgenden Schreibweisen verbreitet: \(m \times n\) Matrix, \(m \times n\)-Matrix, \((m \times n)\) Matrix und \((m \times n)\)-Matrix.

Eine Matrix mit einer Zeile wird Zeilenmatrix genannt, eine Matrix mit einer Spalte wird analog Spaltenmatrix genannt. Zeilen- und Spaltenmatrizen können als Vektoren aufgefasst werden. Eine \(1 \times 1\) Matrix, also eine Matrix mit einer Zeile und einer Spalte, ist sowohl eine Zeilen- als auch eine Spaltenmatrix, und kann als Skalar aufgefasst werden.

Eine Matrix mit derselben Anzahl an Zeilen und Spalten wird quadratische Matrix genannt.

Elemente der Matrix

Beim Element \(a_{ij}\) (auch Matrixelement, Matrixeintrag, Eintrag, Matrixkomponente oder Komponente genannt) handelt es sich um den Eintrag in der \(i\)-ten Zeile und \(j\)-ten Spalte der Matrix \(A \in \mathcal{R}^{m \times n}\) (mit \(1 \leq i \leq m\) und \(1 \leq j \leq n\)). Ist der Doppelindex nicht eindeutig, so kann dieser durch ein Komma getrennt werden; anstelle von \(a_{ij}\) kann ebenfalls \(a_{i,j}\) geschrieben werden.

Bei den Elementen \(a_{ij}\) handelt es sich häufig um Elemente eines Rings oder eines Körpers – wie beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen. Die Elemente einer Matrix können jedoch auch andere mathematische Objekte sein – wie beispielsweise Polynome, Vektoren oder wiederum Matrizen.

Beim ersten Index \(i\) des Elements \(a_{ij}\) handelt es sich um den Zeilenindex, beim zweiten Index \(j\) handelt es sich analog um den Spaltenindex. Die Zeilen und Spalten der Matrix werden oftmals als Zeilen- bzw. Spaltenvektoren bezeichnet.

Formale Darstellung

Eine Matrix kann formal als eine doppelt indexierte Familie dargestellt werden, d. h. als eine Funktion

\begin{array}{c} A: \bigl\{ 1,\ldots,m \bigr\} \times \bigl\{ 1\ldots,n \bigr\} \rightarrow \mathcal{R} \\[0.5em] \bigl(i,j\bigr) \mapsto a_{ij}, \end{array}

die jedem Indexpaar \((i,j)\) das Element \(a_{ij} \in \mathcal{R}\) zuordnet. Der Funktionswert \(a_{ij}\) ist somit das Element in der \(i\)-ten Zeile und \(j\)-ten Spalte der Matrix.

Die Menge \(\mathcal{Abb}( \{1\ldots,m\} \times \{1,\ldots,n\}, \mathcal{R})\) aller \(m \times n\) Matrizen über der Menge \(\mathcal{R}\) wird als \(\mathcal{R}^{\{1\ldots,m\} \times \{1,\ldots,n\}}\) geschrieben; oder in kurz als \(\mathcal{R}^{m \times n}\). Gelegentlich werden auch die Schreibweisen \(\mathcal{R}^{m,n}\) oder \(M(m \times n, \mathcal{R})\) verwendet.

Beispiele

Beispiel 1

Bei der folgenden \(2 \times 4\) Matrix \(A \in \Z^{2 \times 4}\) handelt es sich um eine Matrix mit zwei Zeilen und vier Spalten, deren Einträge aus den ganzen Zahlen \(\Z\) stammen.

A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 \\[0.25em] 2 & 1 & 5 & 0 \end{bmatrix}

Beispiel 2

Bei der folgenden Matrix \(B \in \Q^{3 \times 3}\) handelt es sich um eine quadratische \(3 \times 3\) Matrix, deren Einträge aus den rationalen Zahlen \(\Q\) stammen.

B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\[0.25em] 2 & \frac{3}{5} & -1 \\[0.25em] \frac{3}{2} & 0 & \frac{1}{3} \end{bmatrix}

Beispiel 3

Bei der folgenden Matrix \(C \in \Z^{1 \times 3}\) handelt es sich um eine Zeilenmatrix mit drei Elementen, die aus den ganzen Zahlen \(\Z\) stammen.

C = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 5 \end{bmatrix}

Arithmetische Operationen

Addition

Hauptartikel: Addition von Matrizen

Gegeben seien zwei \(m \times n\) Matrizen \(A,B \in \mathcal{R}^{m \times n}\).

\begin{align*} A &= {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[1em] B &= {\Bigl[ b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \end{align*}

Zum Berechnen der Summe \(A+B\) werden die Matrizen komponentenweise addiert. Es gilt:

A+B = {\Bigl[ a_{ij} + b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}}

Subtraktion

Hauptartikel: Subtraktion von Matrizen

Gegeben seien zwei \(m \times n\) Matrizen \(A,B \in \mathcal{R}^{m \times n}\).

\begin{align*} A &= {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[1em] B &= {\Bigl[ b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \end{align*}

Zum Berechnen der Differenz \(A-B\) werden die Matrizen komponentenweise subtrahiert. Es gilt:

A-B = {\Bigl[ a_{ij} - b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}}

Multiplikation

Hauptartikel: Multiplikation von Matrizen

Gegeben seien eine \(m \times n\) Matrix \(A \in \mathcal{R}^{m \times n}\) sowie eine \(n \times p\) Matrix \(B \in \mathcal{R}^{n \times p}\).

\begin{align*} A &= {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \\[1em] B &= {\Bigl[ b_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq n \\[0.25em] 1 \leq j \leq p}} \end{align*}

Zum Berechnen des Produkts \(A \cdot B\) werden die Zeilen der Matrix \(A\) mit den Spalten der Matrix \(B\) multipliziert. Die Elemente werden hierbei analog zum Skalarprodukt zweier Vektoren komponentenweise multipliziert und anschließend aufsummiert. Es gilt:

A \cdot B = {\left[ \sum\limits_{k=1}^{n}{a_{ik} \cdot b_{kj}} \right]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq p}}

Skalare Multiplikation

Hauptartikel: Skalare Multiplikation von Matrizen

Gegeben sei eine \(m \times n\) Matrix \(A \in \mathcal{R}^{m \times n}\) sowie ein Skalar \(\lambda \in \mathcal{R}\).

A = {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}}

Zum Berechnen des skalaren Vielfachen \(\lambda \cdot A\) wird die Matrix komponentenweise mit dem Skalar multipliziert. Es gilt:

\lambda \cdot A = {\Bigl[ \lambda \cdot a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}}

Weitere Operationen

Inverse Matrix

Hauptartikel: Inverse Matrix

Bei der inversen Matrix \(A^{-1}\) einer quadratischen \(n \times n\) Matrix \(A\) über einem Ring oder Körper – falls existent – handelt es sich um eine ebenfalls quadratische \(n \times n\) Matrix, für die

A^{-1} \cdot A = E_n = A \cdot A^{-1}

gilt. Hierbei ist \(\cdot\) die Matrizenmultiplikation und \(E_n\) bezeichnet die \(n \times n\) Einheitsmatrix. Matrizen, die eine inverse Matrix besitzen, werden invertierbare oder reguläre Matrizen genannt. Nicht invertierbare Matrizen werden singuläre Matrizen genannt.

Transponierte Matrix

Hauptartikel: Transponierte Matrix

Bei der transponierten Matrix einer \(m \times n\) Matrix

\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} \\[1em] &= {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \end{align*}

handelt es sich um die \(n \times m\) Matrix

\begin{align*} A^T &= \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{m1} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{1n} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} \\[1em] &= {\Bigl[ a_{ji} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}}, \end{align*}

die aus \(A\) durch Vertauschen der Zeilen und Spalten hervorgeht: Die erste Zeile von \(A\) entspricht der ersten Spalte von \(A^T\), die zweite Zeile von \(A\) entspricht der zweiten Spalte von \(A^T\) usw. Analog bilden die Spalten von \(A\) die Zeilen von \(A^T\). Die Matrix \(A^T\) geht aus der Matrix \(A\) hervor, indem diese an der Hauptdiagonalen gespiegelt wird.

Konjugierte Matrix

Bei der konjugierten Matrix einer komplexen \(m \times n\) Matrix

\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} \\[1em] &= {\Bigl[ a_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \end{align*}

handelt es sich um die (komplexe) \(m \times n\) Matrix

\begin{align*} \overline{A} &= \begin{bmatrix} \overline{a}_{11} & \ldots & \overline{a}_{1n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] \overline{a}_{m1} & \ldots & \overline{a}_{mn} \end{bmatrix} \\[1em] &= {\Bigl[ \overline{a}_{ij} \Bigr]}_{\substack{1 \leq i \leq m \\[0.25em] 1 \leq j \leq n}} \end{align*}

die aus der Matrix \(A\) durch die Konjugation aller Elemente hervorgeht.

Adjungierte Matrix

Bei der adjungierten Matrix \(A^*\) bzw. \(A^H\) einer komplexen \(m \times n\) Matrix \(A\) handelt es sich um die Transponierte der konjugierten Matrix bzw. um die Konjugierte der transponierten Matrix, d. h., es gilt:

A^* = A^H = {\overline{A}}^T = \overline{A^T}.

Eigenschaften

Determinante

Hauptartikel: Determinante

Bei einer Determinante handelt es sich um eine Zahl (ein Skalar), die einer quadratischen Matrix zugeordnet ist, und mit deren Hilfe verschiedene Aussagen über die Matrix getroffen werden können – beispielsweise über die eindeutige Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen oder über die Existenz der inversen Matrix.

Spur

Hauptartikel: Spur einer Matrix

Bei der Spur einer quadratischen \(n \times n\) Matrix \(A\) handelt es sich um die Summe der Hauptdiagonalelemente.

\begin{align*} \spur(A) = \tr(A) &= \sum\limits_{i=1}^{n}{a_{ii}} \\[0.5em] &= a_{11} + \ldots + a_{nn} \end{align*}

Zeilenraum

Hauptartikel: Zeilenraum einer Matrix

Beim Zeilenraum einer \(m \times n\) Matrix

A = \begin{bmatrix} \quad — & z_1 & — \quad \\[0.25em] & \vdots & \\[0.25em] \quad — & z_m & — \quad \end{bmatrix}

über einem Ring oder Körper \(\mathcal{R}\) handelt es sich um den Vektorraum, der durch die Zeilenvektoren der Matrix aufgespannt wird – also um die lineare Hülle der Zeilenvektoren der Matrix.

\begin{align*} Z(A) &= \Lin\bigl( z_1,\ldots,z_m \bigr) \\[0.5em] &= \Bigl\{ \lambda_1 \cdot z_1 + \ldots + \lambda_m \cdot z_m \mid \lambda_1,\ldots,\lambda_m \in \mathcal{R} \Bigr\} \end{align*}

Spaltenraum

Hauptartikel: Spaltenraum einer Matrix

Beim Spaltenraum einer \(m \times n\) Matrix

A = \begin{bmatrix} \mid & & \mid \\[0.25em] s_1 & \cdots & s_n \\[0.25em] \mid & & \mid \end{bmatrix}

über einem Ring oder Körper \(\mathcal{R}\) handelt es sich um den Vektorraum, der durch die Spaltenvektoren der Matrix aufgespannt wird – also um die lineare Hülle der Spaltenvektoren der Matrix.

\begin{align*} S(A) &= \Lin\bigl( s_1,\ldots,s_n \bigr) \\[0.5em] &= \Bigl\{ \lambda_1 \cdot s_1 + \ldots + \lambda_n \cdot s_n \mid \lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \mathcal{R} \Bigr\} \end{align*}

Nullraum

Hauptartikel: Nullraum einer Matrix

Beim Nullraum einer \(m \times n\) Matrix \(A\) über einem Körper \(\mathcal{K}\) handelt es sich um die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems \(Ax=0\), also um die Menge aller Vektoren, die durch Multiplikation mit der Matrix \(A\) auf den Nullvektor \(0\) abgebildet werden.

N(A) = \Bigl\{ x \in \mathcal{K}^n \mid Ax=0 \Bigr\}

Rang

Hauptartikel: Rang einer Matrix

Beim Zeilenrang einer Matrix handelt es sich um die Dimension des Zeilenraums der Matrix. Entsprechend handelt es sich beim Spaltenrang um die Dimension des Spaltenraums. Bei Matrizen über einem Körper stimmen diese überein und werden schlicht als Rang bezeichnet; dann gilt:

\rang\bigl(A\bigr) = \rg\bigl(A\bigr) = \dim\bigl(Z(A)\bigr) = \dim\bigl(S(A)\bigr).

Eigenwerte und Eigenvektoren

Hauptartikel: Eigenwert, Eigenvektor

Ein Vektor \(v \in \mathcal{R}^n\) mit \(v \neq 0\) wird Eigenvektor der Matrix \(A \in \mathcal{R}^{n \times n}\) genannt, wenn er bei der Multiplikation mit der Matrix \(A\) auf ein Vielfaches \(\lambda v\) von sich selbst abgebildet wird; wenn also gilt:

A v = \lambda v.

Der Wert \(\lambda \in \mathcal{R}\) wird als der zum Vektor \(v\) gehörende Eigenwert bezeichnet.

Spezielle Matrizen

Einheitsmatrix

Hauptartikel: Einheitsmatrix

Bei der Einheitsmatrix bzw. Identitätsmatrix handelt es sich um die quadratische Matrix \(E_n = I_n \in \mathcal{R}^{n \times n}\) mit

E_n = \begin{bmatrix} 1_\mathcal{R} & 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & 1_\mathcal{R} & \ddots & \vdots \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} & 1_\mathcal{R} \end{bmatrix},

deren Hauptdiagonalelemente dem neutralen Element \(1_\mathcal{R}\) der Multiplikation in \(\mathcal{R}\) entsprechen. Alle anderen Elemente entsprechen dem Nullelement \(0_\mathcal{R}\).

Nullmatrix

Hauptartikel: Nullmatrix

Bei der Nullmatrix handelt es sich um die Matrix \(0_{mn} \in \mathcal{R}^{m \times n}\) mit

0_{mn} = \begin{bmatrix} 0_\mathcal{R} & \ldots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \ldots & 0_\mathcal{R} \end{bmatrix},

deren Elemente ausnahmslos dem neutralen Element \(0_\mathcal{R}\) der Addition in \(\mathcal{R}\) entsprechen.

Symmetrische Matrizen

Hauptartikel: Symmetrische Matrix

Bei einer symmetrischen Matrix handelt es sich um eine quadratische Matrix \(A\), die spiegelsymmetrisch bezüglich ihrer Hauptdiagonalen ist, für die also stets \(a_{ij} = a_{ji}\) gilt (für \(1 \leq i \leq n\) und \(1 \leq j \leq n\)).

Eine symmetrische Matrix \(A\) stimmt stets mit ihrer Transponierten überein, d. h. es gilt:

\[ A = A^T. \]

Diagonalmatrix

Hauptartikel: Diagonalmatrix

Bei einer Diagonalmatrix handelt es sich um eine quadratische Matrix \(D \in \mathcal{R}^{n \times n}\) mit

D = \begin{bmatrix} d_{11} & 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & d_{22} & \ddots & \vdots \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} & d_{nn} \end{bmatrix},

bei der alle Einträge \(d_{ij}\) mit \(i \neq j\), also alle Einträge, die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen, gleich \(0_\mathcal{R}\) sind.

Skalarmatrix

Hauptartikel: Skalarmatrix

Bei einer Skalarmatrix handelt es sich um eine quadratische Matrix \(S \in \mathcal{R}^{n \times n}\) mit

S = \begin{bmatrix} \lambda & 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \lambda & \ddots & \vdots \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} & \lambda \end{bmatrix},

bei der alle Hauptdiagonalelemente demselben Skalar \(\lambda \in \mathcal{R}\) entsprechen und alle Einträge \(s_{ij}\) mit \(i \neq j\), also alle Einträge, die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen, gleich \(0_\mathcal{R}\) sind. Eine Skalarmatrix ist somit eine spezielle Diagonalmatrix.

Dreiecksmatrix

Hauptartikel: Dreiecksmatrix

Bei einer oberen Dreiecksmatrix handelt es sich um eine quadratische Matrix \(A \in \mathcal{R}^{n \times n}\), bei der alle Einträge unterhalb der Hauptdiagonalen Null sind:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & \star & \cdots & \star \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \ddots & \ddots & \vdots \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & \star \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} & a_{nn} \end{bmatrix}

Analog handelt es sich bei einer unteren Dreiecksmatrix um eine quadratische Matrix \(A \in \mathcal{R}^{n \times n}\), bei der alle Einträge oberhalb der Hauptdiagonalen Null sind:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] \star & \ddots & \ddots & \vdots \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] \star & \cdots & \star & a_{nn} \end{bmatrix}

Anwendungen

Lineare Gleichungssysteme

Hauptartikel: Lineares Gleichungssystem

Ein lineares Gleichungssystem

\begin{align*} \begin{alignedat}{4} a_{11}x_1 &\ + &\ a_{12}x_2 &\ + &\ \ldots &\ + &\ a_{1n}x_n &\ = &\ b_1 \\[0.5em] a_{21}x_1 &\ + &\ a_{22}x_2 &\ + &\ \ldots &\ + &\ a_{2n}x_n &\ = &\ b_2 \\[0.5em] \vdots\quad &\ &\ \vdots\quad &\ &\ \ddots &\ &\ \vdots\quad &\ &\ \vdots\ \ \\[0.5em] a_{m1}x_1 &\ + &\ a_{m2}x_2 &\ + &\ \ldots &\ + &\ a_{mn}x_n &\ = &\ b_m \end{alignedat} \end{align*}

mit \(n\) Variablen und \(m\) Gleichungen kann mithilfe einer Matrizenmultiplikation elegant als

\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1_n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] b_m \end{pmatrix}

dargestellt werden. Oder kurz als

\[ Ax=b. \]

Bei \(A\) handelt es sich hierbei um die Koeffizientenmatrix, bei \(b\) um den Lösungsvektor und bei \(x\) um den Vektor mit den Variablen \(x_1,\ldots,x_n\).

Lineare Abbildungen

Hauptartikel: Lineare Abbildung

Bei einer linearen Abbildung handelt es sich um eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen \(\mathcal{V}\) und \(\mathcal{W}\) über demselben Körper, die verträglich mit der Addition und der skalaren Multiplikation von Vektoren ist. Es spielt folglich keine Rolle, ob die Vektoren zunächst addiert/skaliert und anschließend abgebildet werden, oder zunächst abgebildet und anschließend addiert/skaliert werden.

Für gegebene Basen der Vektorräume kann die lineare Abbildung \(\mathcal{V} \rightarrow \mathcal{W}\) durch eine eindeutig bestimmte Abbildungsmatrix dargestellt werden. Die Bilder der Vektoren aus \(\mathcal{V}\) können dann mithilfe einer Matrizenmultiplikation bestimmt werden.

Vektorräume von Matrizen

Hauptartikel: Matrizenraum

Beim Matrizenraum handelt es sich um den Vektorraum der Matrizen fester Größe über einem Körper. Bei den Verknüpfungen des Matrizenraums handelt es sich um die Addition sowie die skalare Multiplikation von Matrizen. Bei der Standardbasis des Matrizenraums handelt es sich um die Standardmatrizen. Die Dimension des Matrizenraums entspricht dem Produkt der Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix.