Aufgaben
Aufgaben zur Division von komplexen Zahlen
Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Division von komplexen Zahlen erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen. Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für deine eigenen Aufgaben verfügbar.
Aufgabe 1 von 2
Berechne den Quotienten \(\frac{z_1}{z_2}\) der folgenden komplexen Zahlen.
\[\begin{align*}
z_1 &= 3 + 2i\\[0.75em]
z_2 &= 2 + i
\end{align*}\]
Gib das Ergebnis in der Form \(a+ib\) an.
Zum Berechnen des Quotienten von \(z_1\) und \(z_2\) wird dieser zunächst mit der konjugiert komplexen Zahl \(\overline{z_2}\) erweitert, um mithilfe der dritten binomischen Formel und der Eigenschaft \(i^2=-1\) die imaginäre Einheit \(i\) aus dem Nenner zu entfernen. Es folgt:
\[\begin{align*}
\frac{z_1}{z_2}&= \displaystyle\frac{3 + 2i}{2 + i}\\[0.75em]
&= \displaystyle\frac{\left(3 + 2i\right) \cdot {\color{blue}\left(2 - i\right)}}{\left(2 + i\right) \cdot {\color{blue}\left(2 - i\right)}}\\[0.75em]
&= \displaystyle\frac{6-3i+4i-2i^2}{4-i^2}\\[0.75em]
&= \frac{8 + i}{5}\\[0.75em]
&= \frac{8}{5} + \frac{1}{5}i
\end{align*}\]