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Division von komplexen Zahlen Bei der Division von komplexen Zahlen wird der Quotient berechnet, indem die komplexen Zahlen als Bruch geschrieben, mit der Konjugierten des Nenners erweitert und anschließend ausgerechnet und zusammengefasst werden. In Polarform kann der Quotient von komplexen Zahlen berechnet werden, indem ihre Beträge dividiert und ihre Argumente subtrahiert werden.
Definitionen Division in algebraischer Form Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen in algebraischer Form (mit \(a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R\)):
\begin{align*} z_1 &= a_1 + ib_1 \\[0.5em] z_2 &= a_2 + ib_2. \end{align*}
Der Quotient der beiden komplexen Zahlen wird wie folgt berechnet:
\[ z_1 : z_2 = \frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + i \cdot \frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}. \]
Division in Polarform Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen in Polarform (mit $r_1,r_2,\varphi_1,\varphi_2 \in \R$):
\begin{align*} z_1 &= r_1 \cdot \bigl( \cos(\varphi_1) + i \cdot \sin(\varphi_1)\bigr) \\[0.5em] &= r_1 \cdot e^{i \varphi_1} \\[1em] z_2 &= r_2 \cdot \bigl( \cos(\varphi_2) + i \cdot \sin(\varphi_2)\bigr) \\[0.5em] &= r_2 \cdot e^{i \varphi_2}. \end{align*}
Der Quotient der beiden komplexen Zahlen kann berechnet werden, indem die Beträge dividiert und die Argumente subtrahiert werden:
\begin{align*} z_1 : z_2 = \frac{z_1}{z_2} &= \frac{r_1}{r_2} \cdot \bigl( \cos(\varphi_1-\varphi_2) + i \cdot \sin(\varphi_1-\varphi_2) \bigr) \\[0.5em] &= \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}. \end{align*}
Darstellung der Division von komplexen Zahlen in Polarform Beispiele Beispiel 1 Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen in algebraischer Form:
\begin{align*} z_1 &= 1+2i \\[0.5em] z_2 &= 2+3i. \end{align*}
Für den Quotienten \(\frac{z_1}{z_2}\) ergibt sich somit:
\begin{align*} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{1+2i}{2+3i} \\[0.5em] &= \frac{\bigl(1+2i\bigr) \cdot \bigl(2-3i\bigr)}{\bigl(2+3i\bigr) \cdot \bigl(2-3i\bigr)} \\[0.5em] &= \frac{2 - 3i + 4i -6i^2}{4-9i^2} \\[0.5em] &= \frac{8 + i}{13} \\[0.5em] &= \frac{8}{13} + \frac{1}{13}\ i. \end{align*}
Beispiel 2 Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen in Polarform:
\begin{align*} z_1 &= 4 \cdot \left( \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \right) \\[0.5em] z_2 &= 3 \cdot \left( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right). \end{align*}
Für den Quotienten \(\frac{z_1}{z_2}\) ergibt sich somit:
\begin{align*} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{4}{3} \cdot \left( \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \right) \\[0.5em] &= \frac{4}{3} \cdot \left( \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) \right). \end{align*}
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Herleitung der Formeln Division in algebraischer Form Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen in algebraischer Form (mit \(a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R\)):
\begin{align*} z_1 &= a_1 + ib_1 \\[0.5em] z_2 &= a_2 + ib_2. \end{align*}
Für den Quotienten $\frac{z_1}{z_2}$ der beiden Zahlen gilt:
\begin{align*} \frac{z_1}{z_2} &\overset{(1)}{=} \frac{a_1 + ib_1}{a_2 + ib_2} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{\bigl(a_1 + ib_1\bigr) \cdot \bigl(a_2 - ib_2\bigr)}{\bigl(a_2 + ib_2\bigr) \cdot \bigl(a_2 - ib_2\bigr)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{a_1a_2 - a_1ib_2 + ib_1a_2 - ib_1ib_2}{a_2a_2 - a_2ib_2 + ib_2a_2 - ib_2ib_2} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{\bigl(a_1a_2 + b_1b_2\bigr) + i \cdot \bigl(a_2b_1 - a_1b_2\bigr)}{a_2^2 + b_2^2} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \frac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + i \cdot \frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten (1) Ersetzen der komplexen Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) durch die entsprechende Darstellung in algebraischer Form (2) (3) Ausmultiplizieren von Zähler und Nenner (4) Gruppieren nach Real- und Imaginärteil (5) Aufteilen von Real- und Imaginärteil auf zwei Brüche
Division in Polarform Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen in Polarform (mit $r_1,r_2,\varphi_1,\varphi_2 \in \R$):
\begin{align*} z_1 &= r_1 \cdot \bigl( \cos(\varphi_1) + i \cdot \sin(\varphi_1)\bigr) \\[0.5em] z_2 &= r_2 \cdot \bigl( \cos(\varphi_2) + i \cdot \sin(\varphi_2)\bigr). \end{align*}
Für den Quotienten $\frac{z_1}{z_2}$ der beiden Zahlen gilt:
\begin{align*} \frac{z_1}{z_2} &\overset{(1)}{=} \frac{r_1 \cdot \bigl( \cos(\varphi_1) + i \cdot \sin(\varphi_1)\bigr)}{r_2 \cdot \bigl( \cos(\varphi_2) + i \cdot \sin(\varphi_2)\bigr)} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{r_1}{r_2} \cdot \frac{\bigl( \cos(\varphi_1) + i \cdot \sin(\varphi_1)\bigr) \cdot \bigl( \cos(\varphi_2) - i \cdot \sin(\varphi_2)\bigr)}{\bigl( \cos(\varphi_2) + i \cdot \sin(\varphi_2)\bigr) \cdot \bigl( \cos(\varphi_2) - i \cdot \sin(\varphi_2)\bigr)} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{r_1}{r_2} \cdot \frac{\cos(\varphi_1) \cdot \cos(\varphi_2) - \cos(\varphi_1) \cdot i \cdot \sin(\varphi_2) + i \cdot \sin(\varphi_1) \cdot \cos(\varphi_2) - i \cdot \sin(\varphi_1) \cdot i \cdot \sin(\varphi_2)}{{\left(\cos(\varphi_2)\right)}^2 - {\left(i \cdot \sin(\varphi_2) \right)}^2} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{r_1}{r_2} \cdot \frac{\overbrace{\bigl( \cos(\varphi_1) \cdot \cos(\varphi_2) + \sin(\varphi_1) \cdot \sin(\varphi_2) \bigr)}^{=\ \cos(\varphi_1-\varphi_2)} + i \cdot \overbrace{\bigl( \sin(\varphi_1) \cdot \cos(\varphi_2) - \cos(\varphi_1) \cdot \sin(\varphi_2) \bigr)}^{=\ \sin(\varphi_1-\varphi_2)}}{\underbrace{\cos^2(\varphi_2) + \sin^2(\varphi_2)}_{=\ 1}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \frac{r_1}{r_2} \cdot \bigl( \cos(\varphi_1-\varphi_2) + i \cdot \sin(\varphi_1-\varphi_2) \bigr) \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten (1) Ersetzen der komplexen Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) durch die entsprechende Darstellung in Polarform (2) Herausziehen des Faktors \(\frac{r_1}{r_2}\) aus dem Bruch Erweitern des zweiten Bruchs mit der Konjugierten des Nenners (3) Ausmultiplizieren von Zähler und Nenner (4) Gruppieren nach Real- und Imaginärteil (5) Anwenden der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus Anwenden der Gleichheit \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\)
Eigenschaften Assoziativität Die Division von komplexen Zahlen \(z_1\), \(z_2\) und \(z_3\) ist nicht assoziativ ; im Allgemeinen gilt:
\[ \bigl( z_1 : z_2 \bigr) : z_3 \neq z_1 : \bigl( z_2 : z_3 \bigr). \]
Beweis Die Nichtassoziativität der Division von komplexen Zahlen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen:
\begin{align*} z_1 &= 8+8i \\[0.5em] z_2 &= 4+4i \\[0.5em] z_3 &= 2i. \end{align*}
Für die komplexen Zahlen \(z_1\), \(z_2\) und \(z_3\) gilt
\begin{align*} \bigl( z_1 : z_2 \bigr) : z_3 &= \underbrace{\Bigl( \bigl(8+8i\bigr) : \bigl(4+4i\bigr) \Bigr)}_{=\ 2} : 2i \\[0.5em] &= -i \\[1em] z_1 : \bigl( z_2 : z_3 \bigr) &= \bigl(8+8i\bigr) : \underbrace{\Bigl( \bigl(4+4i\bigr) : 2i \Bigr)}_{=\ 2-2i} \\[0.5em] &= 4i, \end{align*}
woraus unmittelbar die Nichtassoziativität der Division von komplexen Zahlen folgt.
Kommutativität Die Division von komplexen Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) ist nicht kommutativ ; im Allgemeinen gilt:
\[ z_1 : z_2 \neq z_2 : z_1. \]
Beweis Die Nichtkommutativität der Division von komplexen Zahlen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen:
\begin{align*} z_1 &= 1 \\[0.5em] z_2 &= i. \end{align*}
Für die komplexen Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) gilt:
\begin{align*} z_1 : z_2 = \frac{z_1}{z_2} &= \frac{1}{i} = -i \\[0.5em] z_2 : z_1 = \frac{z_2}{z_1} &= \frac{i}{1} = i, \end{align*}
woraus unmittelbar die Nichtkommutativität der Division von komplexen Zahlen folgt.
Neutrales Element Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Division von komplexen Zahlen. Die komplexe Zahl \(1\) ist rechts- , aber nicht linksneutral .
Inverses Element Das inverse Element einer komplexen Zahl \(z\) bezüglich der Division von komplexen Zahlen existiert im Allgemeinen nicht.
