Division von komplexen Zahlen
Bei der Division von komplexen Zahlen, auch komplexe Division genannt, wird der Quotient berechnet, indem die komplexen Zahlen zunächst als Bruch geschrieben, mit der Konjugierten des Nenners erweitert und anschließend ausgerechnet und zusammengefasst werden. In Polarform kann der Quotient von komplexen Zahlen berechnet werden, indem ihre Beträge dividiert und ihre Argumente subtrahiert werden. Die Division von komplexen Zahlen ist weder assoziativ noch kommutativ; sie ist rechtsdistributiv über der Addition und der Subtraktion. Die komplexe Division besitzt kein neutrales Element und keine inverse Elemente.
Definition
Komplexe Division
Bei der komplexen Division handelt es sich um eine zweistellige Verknüpfung $\C \times \C \rightarrow \C$ auf der Menge $\C$ der komplexen Zahlen. Sie verknüpft zwei komplexe Zahlen, den Dividenden $z_1$ und den Divisor $z_2$, zu einer neuen komplexen Zahl, dem Quotienten $z_1 : z_2$.
Hinweis: Wird nur die Menge $\C \setminus \{0\}$ betrachtet, so handelt es sich bei der komplexen Division um eine innere zweistellige Verknüpfung. Für die Menge $\C$ selbst ist die Verknüpfung jedoch nicht abgeschlossen, da die Division durch Null nicht erlaubt ist.
Die Division von komplexen Zahlen kann sowohl in algebraischer Form als auch in Polarform durchgeführt werden.
Komplexe Division in algebraischer Form
Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen in algebraischer Form (mit $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R$):
Der Quotient der beiden komplexen Zahlen wird wie folgt berechnet:
Komplexe Division in Polarform
Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen in Polarform (mit $r_1,r_2,\varphi_1,\varphi_2 \in \R$):
Der Quotient der beiden komplexen Zahlen kann berechnet werden, indem ihre Beträge dividiert und ihre Argumente subtrahiert werden:
Beispiele
Beispiel 1: Division in algebraischer Form
Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei komplexen Zahlen in algebraischer Form berechnet. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen:
Zunächst wird der Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl $2-3i$ des Nenners erweitert. Anschließend können der Zähler und der Nenner ausmultipliziert und zusammengefasst werden. Da der entstehende Nenner rein reell ist, kann der Quotient abschließend auf seinen Real- und Imaginärteil aufgeteilt werden. Für den Quotienten $\frac{z_1}{z_2}$ ergibt sich somit:
Beispiel 2: Division in Polarform
Im zweiten Beispiel wird der Quotient von zwei komplexen Zahlen in Polarform berechnet. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen:
Der Quotient $\frac{z_1}{z_2}$ ergibt sich, indem die Beträge der komplexen Zahlen $z_1$ und $z_2$ dividiert und ihre Argumente subtrahiert werden. Es gilt:
Herleitung der Formeln
Herleitung in algebraischer Form
Die Formel für die Division von komplexen Zahlen in algebraischer Form kann durch direktes Nachrechnen hergeleitet werden. Gegeben seien die komplexen Zahlen $z_1$ und $z_2$ (mit $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R$):
Für den Quotienten $\frac{z_1}{z_2}$ der beiden Zahlen gilt:
| Erklärungen zu den Schritten | |
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| (2) |
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| (3) |
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| (4) |
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Herleitung in Polarform
Die Formel für die Division von komplexen Zahlen in Polarform kann durch direktes Nachrechnen unter Verwendung der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus hergeleitet werden. Gegeben seien die komplexen Zahlen $z_1$ und $z_2$ (mit $r_1,r_2,\varphi_1,\varphi_2 \in \R$):
Für den Quotienten $\frac{z_1}{z_2}$ der beiden Zahlen gilt:
| Erklärungen zu den Schritten | |
|---|---|
| (1) |
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| (2) |
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| (3) |
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| (4) |
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| (5) |
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Eigenschaften
Nichtassoziativität
Die Division von komplexen Zahlen ist nicht assoziativ. Für $z_1,z_2,z_3 \in \C$ gilt im Allgemeinen:
Die Nichtassoziativität der Division von komplexen Zahlen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen:
Für die komplexen Zahlen $z_1$, $z_2$ und $z_3$ gilt
woraus unmittelbar folgt, dass das Assoziativgesetz für die Division von komplexen Zahlen nicht gilt.
Nichtkommutativität
Die Division von komplexen Zahlen ist nicht kommutativ; Für $z_1,z_2 \in \C$ gilt im Allgemeinen:
Die Nichtkommutativität der Division von komplexen Zahlen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen:
Für die komplexen Zahlen $z_1$ und $z_2$ gilt:
woraus unmittelbar folgt, dass das Kommutativgesetz für die Division von komplexen Zahlen nicht gilt.
Distributivität
Die Division von komplexen Zahlen ist rechtsdistributiv über der komplexen Addition und der komplexen Subtraktion. Für $z_1,z_2,z_3 \in \C$ gilt:
Der Beweis der Rechtsdistributivität der Division von komplexen Zahlen über der Addition und der Subtraktion kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen, die zur besseren Übersichtlichkeit als Paare von reellen Zahlen dargestellt werden (mit $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in \R$):
Die Rechtsdistributivität kann für den Quotienten aus der Summe bzw. der Differenz $z_1 \pm z_2$ und der komplexen Zahl $z_3$ wie folgt gezeigt werden:
| Erklärungen zu den Schritten | |
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Neutrales Element
Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Division von komplexen Zahlen. Die komplexe Zahl $1$ ist rechtsneutral, aber nicht linksneutral.
Inverses Element
Das inverse Element einer komplexen Zahl $z$ bezüglich der Division von komplexen Zahlen existiert im Allgemeinen nicht.