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Aufgaben

Determinante einer Matrix – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Determinante

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Determinante einer Matrix erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 3

Bestimme die Determinante der folgenden Matrix, deren Koeffizienten aus $ \Q$ stammen:

\[A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & -3 \\ 9 & 1 & -7 \\ -3 & 1 & 6 \end{bmatrix}\]

Aufgabe 2 von 3

Bestimme die Determinante der folgenden Matrix, deren Koeffizienten aus $ \Q$ stammen:

\[A = \begin{bmatrix} 3 & -9 & -6 & -42 \\ -3 & 12 & 6 & 51 \\ -3 & 0 & 7 & 18 \\ -9 & 18 & 20 & 108 \end{bmatrix}\]

Aufgabe 3 von 3

Bestimme die Determinante der folgenden Matrix, deren Koeffizienten aus $ \Q$ stammen:

\[A = \begin{bmatrix} 3 & -9 & -6 & -42 \\ -3 & 12 & 6 & 51 \\ -3 & 0 & 7 & 18 \\ -9 & 18 & 20 & 108 \end{bmatrix}\]
Aufgabengenerator

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Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.

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Eigene Aufgabe

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\[A=\]
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Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung: Beispielaufgabe 1 von 3

Die Determinante der $3 \times 3$ Matrix kann mithilfe der Regel von Sarrus direkt berechnet werden:

\[\begin{align*} \det(A) &= 3 \cdot 1 \cdot 6 + 0 \cdot \left(-7\right) \cdot \left(-3\right) + \left(-3\right) \cdot 9 \cdot 1 \\[0.5em] &\quad {} - \left(-3\right) \cdot 1 \cdot \left(-3\right) - 3 \cdot \left(-7\right) \cdot 1 - 0 \cdot 9 \cdot 6\\[0.5em] &= 3 \end{align*}\]

Musterlösung: Beispielaufgabe 2 von 3

Zum Berechnen der Determinante wird die Matrix zunächst mithilfe des Gauß-Algorithmus in Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rrrr|l}
3 & -9 & -6 & -42 & \text{I} \cdot \frac{1}{3} \\[0.25em]
-3 & 12 & 6 & 51 & \\[0.25em]
-3 & 0 & 7 & 18 & \\[0.25em]
-9 & 18 & 20 & 108 & \\[0.25em]
\hline
1 & -3 & -2 & -14 & \\[0.25em]
-3 & 12 & 6 & 51 & \text{II} + 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]
-3 & 0 & 7 & 18 & \text{III} + 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]
-9 & 18 & 20 & 108 & \text{IV} + 9 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & -3 & -2 & -14 & \\[0.25em]
0 & 3 & 0 & 9 & \text{II} \cdot \frac{1}{3} \\[0.25em]
0 & -9 & 1 & -24 & \\[0.25em]
0 & -9 & 2 & -18 & \\[0.25em]
\hline
1 & -3 & -2 & -14 & \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & 3 & \\[0.25em]
0 & -9 & 1 & -24 & \text{III} + 9 \cdot \text{II} \\[0.25em]
0 & -9 & 2 & -18 & \text{IV} + 9 \cdot \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & -3 & -2 & -14 & \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & 3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 2 & 9 & \text{IV} - 2 \cdot \text{III} \\[0.25em]
\hline
1 & -3 & -2 & -14 & \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & 3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 3 & \text{IV} \cdot \frac{1}{3} \\[0.25em]
\hline
1 & -3 & -2 & -14 & \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & 3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 & 1 &
\end{array}\]

Die Determinante $\det(A')$ der erhaltenen Matrix $A'$, die in Zeilenstufenform vorliegt, kann nun als Produkt der Hauptdiagonalelemente berechnet werden; es gilt:

\[\det(A') = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1.\]

Beim Überführen der ursprünglichen Matrix $A$ in Zeilenstufenform wurden die folgenden elementaren Zeilenumformungen gemacht, die die Determinante verändert haben:

  • Multiplikation von Zeile 1 mit $ \frac{1}{3}$.
  • Multiplikation von Zeile 2 mit $ \frac{1}{3}$.
  • Multiplikation von Zeile 4 mit $ \frac{1}{3}$.

Für die Determinante der erhaltenen Matrix $A'$ gilt dementsprechend der folgende Zusammenhang:

\[\begin{align*}\det(A') &= \det(A) \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \\[0.5em] &= \det(A) \cdot \frac{1}{27} \end{align*}\]

Dieser Zusammenhang kann einfach nach $\det(A)$ umgestellt werden; es folgt:

\[\det(A) = 27.\]

Musterlösung: Beispielaufgabe 3 von 3

Die Determinante der Matrix wird mithilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes durch Entwicklung nach der dritten Zeile bestimmt.

\[\begin{align*}\det(A) &= \sum\limits_{j=1}^{4}{{(-1)}^{3+j} \cdot a_{3j} \cdot \det(A_{3j})}\\[0.75em]
&= -3 \cdot \det(A_{31}) + {}\underbrace{0 \cdot \det(A_{32})}_{=0}{} + 7 \cdot \det(A_{33})-18 \cdot \det(A_{34}) \\[0.75em]
&= -3 \cdot \det\left(\begin{bmatrix} -9 & -6 & -42 \\ 12 & 6 & 51 \\ 18 & 20 & 108 \end{bmatrix}\right) + 7 \cdot \det\left(\begin{bmatrix} 3 & -9 & -42 \\ -3 & 12 & 51 \\ -9 & 18 & 108 \end{bmatrix}\right)-18 \cdot \det\left(\begin{bmatrix} 3 & -9 & -6 \\ -3 & 12 & 6 \\ -9 & 18 & 20 \end{bmatrix}\right) \\[0.75em]
&= -3 \cdot 72 + 7 \cdot 81-18 \cdot 18 \\[0.75em]
&= 27
\end{align*}\]
Die Berechnung von $\det(A_{31})$ liefert $ 72$.

Die Determinante der $3 \times 3$ Matrix kann mithilfe der Regel von Sarrus direkt berechnet werden:

\[\begin{align*} \det(A) &= \left(-9\right) \cdot 6 \cdot 108 + \left(-6\right) \cdot 51 \cdot 18 + \left(-42\right) \cdot 12 \cdot 20 \\[0.5em] &\quad {} - \left(-42\right) \cdot 6 \cdot 18 - \left(-9\right) \cdot 51 \cdot 20 - \left(-6\right) \cdot 12 \cdot 108\\[0.5em] &= 72 \end{align*}\]
Die Berechnung von $\det(A_{33})$ liefert $ 81$.

Die Determinante der $3 \times 3$ Matrix kann mithilfe der Regel von Sarrus direkt berechnet werden:

\[\begin{align*} \det(A) &= 3 \cdot 12 \cdot 108 + \left(-9\right) \cdot 51 \cdot \left(-9\right) + \left(-42\right) \cdot \left(-3\right) \cdot 18 \\[0.5em] &\quad {} - \left(-42\right) \cdot 12 \cdot \left(-9\right) - 3 \cdot 51 \cdot 18 - \left(-9\right) \cdot \left(-3\right) \cdot 108\\[0.5em] &= 81 \end{align*}\]
Die Berechnung von $\det(A_{34})$ liefert $ 18$.

Die Determinante der $3 \times 3$ Matrix kann mithilfe der Regel von Sarrus direkt berechnet werden:

\[\begin{align*} \det(A) &= 3 \cdot 12 \cdot 20 + \left(-9\right) \cdot 6 \cdot \left(-9\right) + \left(-6\right) \cdot \left(-3\right) \cdot 18 \\[0.5em] &\quad {} - \left(-6\right) \cdot 12 \cdot \left(-9\right) - 3 \cdot 6 \cdot 18 - \left(-9\right) \cdot \left(-3\right) \cdot 20\\[0.5em] &= 18 \end{align*}\]
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 1 von 3

Gib die von dir berechnete Determinante ein:

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