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Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 1

Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache von $a$ und $b$ mithilfe der Primfaktorzerlegungen von $a$ und $b$.

\begin{align*}a &= 3960 \\[0.5em]b &= 9450\end{align*}

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.

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Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

Größe der Primfaktoren:

–

Anzahl an Faktoren im kgV:

–

Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!

Eigene Aufgabe

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Gib die Zahlen $a$ und $b$ ein, für die das kleinste gemeinsame Vielfache berechnet werden soll.

\[a=\]

\[b=\]

Aufgabe lösen

Musterlösung

Zum Berechnen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von $$ 3960$$ und $$ 9450$$ müssen zunächst die Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen bestimmt werden.

Bestimmen der Primfaktorzerlegung von

$ 3960$

Zur Bestimmung der Primfaktorzerlegung für die Zahl $$ 3960$$ wird diese auf Teilbarkeit durch alle Primzahlen bis zur abgerundeten Wurzel $\lfloor\sqrt{3960}\rfloor = 62$ getestet. Wird ein Primteiler gefunden, so wird dieser durch Division abgespalten und die Suche für den Quotienten fortgesetzt. Die in einem Schritt abgespaltenen Primfaktoren sowie der verbleibende Quotient sind jeweils farblich hervorgehoben.

\begin{align*} 3960 &= {\color{YellowGreen} 2} \cdot {\color{CornflowerBlue} 1980} \\[0.5em] &= 2 \cdot {\color{YellowGreen} 2} \cdot {\color{CornflowerBlue} 990} \\[0.5em] &= {\underbrace{2 \cdot 2 \cdot {\color{YellowGreen} 2}}_{{2}^{3}}} \cdot {\color{CornflowerBlue} 495} \\[0.5em] &= {2}^{3} \cdot {\color{YellowGreen} 3} \cdot {\color{CornflowerBlue} 165} \\[0.5em] &= {2}^{3} \cdot {\underbrace{3 \cdot {\color{YellowGreen} 3}}_{{3}^{2}}} \cdot {\color{CornflowerBlue} 55} \\[0.5em] &= {2}^{3} \cdot {3}^{2} \cdot {\color{YellowGreen} 5} \cdot {\color{CornflowerBlue} 11} \\[0.5em] &= {2}^{3} \cdot {3}^{2} \cdot 5 \cdot {\color{YellowGreen} 11}\end{align*}

Bestimmen der Primfaktorzerlegung von

$ 9450$

Zur Bestimmung der Primfaktorzerlegung für die Zahl $$ 9450$$ wird diese auf Teilbarkeit durch alle Primzahlen bis zur abgerundeten Wurzel $\lfloor\sqrt{9450}\rfloor = 97$ getestet. Wird ein Primteiler gefunden, so wird dieser durch Division abgespalten und die Suche für den Quotienten fortgesetzt. Die in einem Schritt abgespaltenen Primfaktoren sowie der verbleibende Quotient sind jeweils farblich hervorgehoben.

\begin{align*} 9450 &= {\color{YellowGreen} 2} \cdot {\color{CornflowerBlue} 4725} \\[0.5em] &= 2 \cdot {\color{YellowGreen} 3} \cdot {\color{CornflowerBlue} 1575} \\[0.5em] &= 2 \cdot 3 \cdot {\color{YellowGreen} 3} \cdot {\color{CornflowerBlue} 525} \\[0.5em] &= 2 \cdot {\underbrace{3 \cdot 3 \cdot {\color{YellowGreen} 3}}_{{3}^{3}}} \cdot {\color{CornflowerBlue} 175} \\[0.5em] &= 2 \cdot {3}^{3} \cdot {\color{YellowGreen} 5} \cdot {\color{CornflowerBlue} 35} \\[0.5em] &= 2 \cdot {3}^{3} \cdot {\underbrace{5 \cdot {\color{YellowGreen} 5}}_{{5}^{2}}} \cdot {\color{CornflowerBlue} 7} \\[0.5em] &= 2 \cdot {3}^{3} \cdot {5}^{2} \cdot {\color{YellowGreen} 7}\end{align*}

Für die Werte $$ 3960$$ und $$ 9450$$ ergeben sich die folgenden Primfaktorzerlegungen:

\begin{align*}3960 &= {2}^{\color{Orange}3} \cdot {3}^{\color{Orange}2} \cdot {5}^{\color{Orange}1} \cdot {11}^{\color{Orange}1} \\[0.5em]9450 &= {2}^{\color{CornflowerBlue}1} \cdot {3}^{\color{CornflowerBlue}3} \cdot {5}^{\color{CornflowerBlue}2} \cdot {7}^{\color{CornflowerBlue}1}\end{align*}

Anschließend werden alle Primzahlen herausgesucht, die in mindestens einer der Primfaktorzerlegungen vorkommen:

\[2, 3, 5, 7, 11\]

Das gesuchte kleinste gemeinsame Vielfache kann nun dadurch berechnet werden, dass die jeweils größeren Potenzen aller Primfaktoren, die in mindestens einer der Zerlegungen vorkommen, multipliziert werden.

\begin{align*}\kgV(3960, 9450) &= {2}^{\color{Orange}3} \cdot {3}^{\color{CornflowerBlue}3} \cdot {5}^{\color{CornflowerBlue}2} \cdot {7}^{\color{CornflowerBlue}1} \cdot {11}^{\color{Orange}1} \\[0.5em]&= 415800\end{align*}

Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen

Gib das berechnete kleinste gemeinsame Vielfache ein.

\[\kgV(a,b)=\]