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Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Beim kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) handelt es sich um einen mathematischen Begriff, der unter anderem in den Gebieten der Arithmetik und der Zahlentheorie eine Rolle spielt. Es handelt sich dabei um die kleinste natürliche Zahl, die sich ohne Rest durch zwei gegebene ganze Zahlen teilen lässt. Das Gegenstück des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ist der größte gemeinsame Teiler (ggT).

Der englische Begriff lcm (von least common multiple) ist ebenfalls verbreitet.

Inhalt

Berechnung

Berechnung des kleinstes gemeinsamen Vielfachen mithilfe der Primfaktorzerlegung

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen kann über ihre Primfaktorzerlegung bestimmt werden. Hierfür werden zunächst alle Primfaktoren ermittelt, die in mindestens einer der beiden Zerlegung vorkommen, und anschließend in ihrer jeweils größeren, vorkommenden Potenz multipliziert.

Beispiel

Es soll das kleinste gemeinsame Vielfache von \(3780\) und \(7200\) berechnet werden. Es gilt

\begin{align*} 3780 &= 2^{\color{Orange} 2} \cdot 3^{\color{Orange} 3} \cdot 5^{\color{Orange} 1} \cdot 7^{\color{Orange} 1} \\[0.5em] 7200 &= 2^{\color{CornflowerBlue} 5} \cdot 3^{\color{CornflowerBlue} 2} \cdot 5^{\color{CornflowerBlue} 2}. \end{align*}

Die beiden Zahlen enthalten die Primfaktoren \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\). Für das kleinste gemeinsame Vielfache ergibt sich entsprechend

\begin{align*} \kgV(7200, 3780) &= 2^{\color{CornflowerBlue} 5} \cdot 3^{\color{Orange} 3} \cdot 5^{\color{CornflowerBlue} 2} \cdot 7^{\color{Orange} 1} \\[0.5em] &= 151.200. \end{align*}

Berechnung des kleinstes gemeinsamen Vielfachen mithilfe des euklidischen Algorithmus

Hauptartikel: Euklidischer Algorithmus

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen kann alternativ (indirekt) mithilfe des euklidischen Algorithmus berechnet werden, indem es auf den größten gemeinsamen Teiler zurückgeführt wird. Hierbei handelt es sich um die empfohlene Standardvariante zur Berechnung des kgV, da die im Allgemeinen nur aufwendig zu berechnende Primfaktorzerlegung nicht benötigt wird. Es gilt

\[ \kgV(a,b) = \frac{|a \cdot b|}{\ggT(a,b)}. \]

Beispiel

Es soll das kleinste gemeinsame Vielfache von \(3780\) und \(7200\) berechnet werden. Hierzu wird zunächst der größte gemeinsame Teiler bestimmt. Es gilt

\begin{align*} 7200 &= 1 \cdot 3780 + 3420 \\[0.5em] 3780 &= 1 \cdot 3420 + 360 \\[0.5em] 3420 &= 9 \cdot 360 + {\color{CornflowerBlue} 180} \\[0.5em] 360 &= 2 \cdot {\color{CornflowerBlue} 180} + 0. \end{align*}

Der größte gemeinsame Teiler \(180\) kann beispielsweise am Rest in der vorletzten Zeile abgelesen werden. Für das gesuchte kgV ergibt sich somit

\begin{align*} \kgV(7200, 3780) &= \frac{7200 \cdot 3780}{\ggT(7280, 3780)} \\[0.5em] &= \frac{7200 \cdot 3780}{180} \\[0.5em] &= 151.200. \end{align*}

Verallgemeinerung für mehrere Zahlen

Berechnung des kleinstes gemeinsamen Vielfachen mithilfe der Primfaktorzerlegung

Die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen kann auf mehr als zwei ganze Zahlen erweitert werden. Dies funktioniert analog zum Fall für zwei Zahlen: Es werden zunächst alle Primfaktoren ermittelt, die in mindestens einer Zerlegung vorkommen, und diese anschließend in ihrer jeweils größten vorkommenden Potenz multipliziert.

Beispiel

Es soll das kleinste gemeinsame Vielfache von \(1120\), \(1200\) und \(3528\) berechnet werden. Es gilt

\begin{align*} 1120 &= 2^{\color{Orange} 5} \cdot 5^{\color{Orange} 1} \cdot 7^{\color{Orange} 1} \\[0.5em] 1200 &= 2^{\color{CornflowerBlue} 4} \cdot 3^{\color{CornflowerBlue} 1} \cdot 5^{\color{CornflowerBlue} 2} \\[0.5em] 3528 &= 2^{\color{Magenta} 3} \cdot 3^{\color{Magenta} 2} \cdot 7^{\color{Magenta} 1}. \end{align*}

Die gemeinsamen Primfaktoren sind \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\). Für das kleinste gemeinsame Vielfache ergibt sich somit

\begin{align*} \kgV(3528, 1200, 1120) &= 2^{\color{Orange} 5} \cdot 3^{\color{Magenta} 2} \cdot 5^{\color{CornflowerBlue} 2} \cdot 7^{\color{Magenta} 1} \\[0.5em] &= 50.400. \end{align*}

Berechnung mithilfe der Assoziativität

Beim kleinsten gemeinsamen Vielfachen handelt es sich um eine assoziative zweistellige Verknüpfung. Es gilt

\[ \kgV\left( a, \kgV(b, c) \right) = \kgV\left( \kgV(a,b), c \right) = \kgV(a,b,c). \]

Die Assoziativität ermöglicht beispielsweise die schrittweise Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen mithilfe des euklidischen Algorithmus, so dass auch im allgemeinen Fall keine Primfaktorzerlegung benötigt wird.

Rechenregeln

Für das kleinste gemeinsame Vielfache gelten unter anderem die nachfolgenden Identitäten. Bei \(a,b,c \in \mathbb{Z}\) handelt es sich jeweils um ganze Zahlen; mit \(|a|\) ist der Betrag bezeichnet.

  • Das kgV ist assoziativ:
    \[ \kgV\left( a, \kgV(b, c) \right) = \kgV\left( \kgV(a,b), c \right) = \kgV(a,b,c). \]
  • Das kgV ist kommutativ:
    \[ \kgV(a,b) = \kgV(b,a). \]
  • Das kgV ist distributiv:
    \[ \kgV(a \cdot c, b \cdot c) = \kgV(a,b) \cdot |c|. \]
  • Für \(c \mid a\) und \(c \mid b\) gilt analog zur Distributivität:
    \[ \kgV(a : c, b : c) = \kgV(a,b) : |c| \]
    sowie
    \[ c \mid \kgV(a,b). \]
  • Für alle ganzen Zahlen gilt
    \begin{align*} \kgV(a,a) &= |a| \\[0.5em] \kgV(a,0) &= 0 \\[0.5em] \kgV(a,1) &= a. \end{align*}

Anwendungen

Bruchrechnung

Beim Addieren oder Subtrahieren von rationalen Zahlen (Brüchen) müssen diese durch Erweitern zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Hierfür ist das kleinste gemeinsame Vielfache der ursprünglichen Nenner ein sehr gut geeigneter Kandidat, da das Verwenden des kgV als gemeinsamer Nenner beispielsweise dafür sorgt, dass alle an der Rechnung beteiligten Werte so klein wie möglich bleiben.

Zusammenhang mit dem größten gemeinsamen Teiler

Für das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen gilt der folgende Zusammenhang:

\[ \ggT(a,b) \cdot \kgV(a,b) = |a \cdot b|. \]

Dies ermöglicht, das kleinste gemeinsame Vielfache auf den größten gemeinsamen Teiler zurückzuführen – und umgekehrt. Damit ist es beispielsweise möglich, das kgV (indirekt) mithilfe des euklidischen Algorithmus und somit ohne Primfaktorzerlegung zu berechnen.

\[ \kgV(a,b) = \frac{|a \cdot b|}{\ggT(a,b)} \]