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Aufgaben

Aufgaben zum größten gemeinsamen Teiler von Polynomen

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Größter gemeinsamer Teiler von Polynomen erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen. Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für deine eigenen Aufgaben verfügbar.

Aufgabe 1 von 2

Gegeben seien die folgenden Polynome mit Koeffizienten aus \(\Q\):

\[\begin{align*}
a(x) &= -2x^8 + 2x^7 - x^3 + x^2 \\[0.5em]
b(x) &= -2x^6 + 2x^5 + x - 1
\end{align*}\]

Bestimme den normierten größten gemeinsamen Teiler der Polynome \(a(x)\) und \(b(x)\).



Für den euklidischen Algorithmus werden solange Zerlegungen mit Rest bestimmt, bis der Rest $0$ erreicht wird.

\[\begin{align*}
-2x^8 + 2x^7 - x^3 + x^2 &\overset{(1)}{=} x^2 \cdot \left(-2x^6 + 2x^5 + x - 1\right)-2x^3 + 2x^2 \\[0.5em]
-2x^6 + 2x^5 + x - 1 &\overset{(2)}{=} x^3 \cdot \left(-2x^3 + 2x^2\right) + x - 1 \\[0.5em]
-2x^3 + 2x^2 &\overset{(3)}{=} -2x^2 \cdot \left(x - 1\right) + 0
\end{align*}\]

Der größte gemeinsame Teiler kann nun einfach abgelesen werden – es handelt sich um den Rest in der vorletzten Zeile.

\[x - 1\]

Bei dem gefundenen größten gemeinsamen Teiler handelt es sich bereits um den normierten größten gemeinsamen Teiler.


Erklärung zu Schritt (1)

Die Berechnung der Zerlegung mit Rest kann schrittweise mittels Polynomdivision durchgeführt werden.

\begin{align*}
\begin{alignedat}{6}
& \phantom{-\bigl(}\llap{\bigl(}\,-\, &2x^8 & \,+\, & 2x^7 & \,-\, & x^3 & \,+\, & x^2\rlap{\bigr)} & &\ \, : & \, \bigl(-2x^6 + 2x^5 + x - 1\bigr) = x^2\\[0.5em]
& \phantom{-\bigl(}\llap{-\bigl(}\,-\, & 2x^8 & \,+\, & 2x^7 & \,+\, & x^3 & \,-\, & x^2\rlap{\bigr)} & & & \\[0.5em]\hline
& & & & & \,-\, & 2x^3 & \,+\, & 2x^2 & & & \\[0.5em]
\end{alignedat}
\end{align*}

Die Division der beiden Polynome liefert die folgende Zerlegung mit Rest:

\[\underbrace{-2x^8 + 2x^7 - x^3 + x^2}_{=\ a(x)} = \left(\underbrace{x^2}_{=\ q(x)}\right) \cdot \left(\underbrace{-2x^6 + 2x^5 + x - 1}_{=\ b(x)}\right)\underbrace{-2x^3 + 2x^2}_{=\ r(x)}\]

Erklärung zu Schritt (2)

Die Berechnung der Zerlegung mit Rest kann schrittweise mittels Polynomdivision durchgeführt werden.

\begin{align*}
\begin{alignedat}{6}
& \phantom{-\bigl(}\llap{\bigl(}\,-\, &2x^6 & \,+\, & 2x^5 & \,+\, & x & \,-\, & 1\rlap{\bigr)} & &\ \, : & \, \bigl(-2x^3 + 2x^2\bigr) = x^3\\[0.5em]
& \phantom{-\bigl(}\llap{-\bigl(}\,-\, & 2x^6 & \,+\, & 2x^5\rlap{\bigr)} & & & & & & & \\[0.5em]\hline
& & & & & & x & \,-\, & 1 & & & \\[0.5em]
\end{alignedat}
\end{align*}

Die Division der beiden Polynome liefert die folgende Zerlegung mit Rest:

\[\underbrace{-2x^6 + 2x^5 + x - 1}_{=\ a(x)} = \left(\underbrace{x^3}_{=\ q(x)}\right) \cdot \left(\underbrace{-2x^3 + 2x^2}_{=\ b(x)}\right)+\underbrace{x - 1}_{=\ r(x)}\]

Erklärung zu Schritt (3)

Die Berechnung der Zerlegung mit Rest kann schrittweise mittels Polynomdivision durchgeführt werden.

\begin{align*}
\begin{alignedat}{5}
& \phantom{-\bigl(}\llap{\bigl(}\,-\, &2x^3 & \,+\, & 2x^2\rlap{\bigr)} & & & &\ \, : & \, \bigl(x - 1\bigr) = -2x^2\\[0.5em]
& \phantom{-\bigl(}\llap{-\bigl(}\,-\, & 2x^3 & \,+\, & 2x^2\rlap{\bigr)} & & & & & \\[0.5em]\hline
& & & & & & 0 & & & \\[0.5em]
\end{alignedat}
\end{align*}

Die Division der beiden Polynome liefert die folgende Zerlegung mit Rest:

\[\underbrace{-2x^3 + 2x^2}_{=\ a(x)} = \left(\underbrace{-2x^2}_{=\ q(x)}\right) \cdot \left(\underbrace{x - 1}_{=\ b(x)}\right)\]