Nachlesen

Polynom

Bei einem Polynom (oder auch einer Polynomfunktion) handelt es sich um die Summe von gewichteten, natürlichen Potenzen einer Variable $x$.

Definitionen

Polynom

Bei einem Polynom (oder auch einer Polynomfunktion) $p$ handelt es sich um einen Ausdruck der folgenden Form:

p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n.

Hierbei ist $x$ eine Unbekannte (eine Variable) und $n \in \N_0$ eine natürliche Zahl mit $n \geq 0$. Bei den Koeffizienten $a_0,\ldots,a_n$ handelt es sich um Elemente eines Rings $\mathcal{R}$ – hierzu zählen die ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen, aber beispielsweise auch Restklassenringe. Mit Ausnahme der Forderung $a_n \neq 0_\mathcal{R}$, falls $n \gt 0$ gilt, können die Koeffizienten beliebig gewählt werden. Der Koeffizient $a_n$ wird Leitkoeffizient genannt. Der Term $a_0 = a_0x^0$ wird Absolutglied genannt.

Unter Verwendung des Summenzeichens lässt sich ein Polynom auch wie folgt darstellen:

p(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}{a_kx^k}.

Vereinfacht gesagt: Bei einem Polynom handelt es sich um die Summe von (mehreren) gewichteten, natürlichen Potenzen.

Normiertes Polynom

Bei einem normierten Polynom handelt es sich um ein Polynom, für dessen Leitkoeffizient $a_n = 1_\mathcal{R}$ gilt.

Grad eines Polynoms

Der natürliche Exponent $n$ der höchsten im Polynom

p(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}{a_kx^k}

vorkommenden Potenz $a_nx^n$ wird als Grad des Polynoms bezeichnet und als $\grad(p)$ oder $\deg(p)$ geschrieben.

Nullstelle

Hauptartikel: Nullstellen von Polynomen

Bei einer Nullstelle (oder Wurzel) eines Polynoms $p$ handelt es sich um einen Wert $x_0$, für den die folgende Eigenschaft gilt:

p(x_0) = 0_\mathcal{R}.

Ein Polynom vom Grad $n$ besitzt höchstens $n$ Nullstellen. Das konstante Polynom $p(x)=0_\mathcal{R}$ (das Nullpolynom) besitzt unendlich viele Nullstellen, das konstante Polynom $p(x)=a_0 \neq 0_\mathcal{R}$ besitzt keine Nullstellen.

Linearfaktorzerlegung

Hauptartikel: Faktorisierung von Polynomen

Ein Polynom $p$ lässt sich stets als ein Produkt der folgenden Form darstellen, die Linearfaktorzerlegung genannt wird:

\begin{align*} p(x) &= c \cdot {(x-x_1)}^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot {(x-x_r)}^{\alpha_r} \\[0.5em] &\qquad {}\cdot {Q_1(x)}^{\beta_1} \cdot \ldots \cdot {Q_s(x)}^{\beta_s}. \end{align*}

Beim führenden Faktor $c$ handelt es sich um den Leitkoeffizienten, bei den Werten $x_1,\ldots,x_r$ handelt es sich um die Nullstellen des Polynoms, die Terme $(x-x_k)$ werden Linearfaktoren genannt, bei den Termen $Q_k(x)$ handelt es sich um irreduzible Polynome, die nicht weiter in Linearfaktoren zerlegt werden können und bei den natürlichen Zahlen $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ sowie $\beta_1,\ldots,\beta_s$ handelt es sich um die Vielfachheiten, die angeben, wie oft die jeweiligen Terme in der Linearfaktorzerlegung auftauchen.

Beispiele

Beispiel 1

Beim folgenden Polynom $a(x)$ handelt es sich um ein quadratisches Polynom mit Grad 2 und Koeffizienten aus den ganzen Zahlen $\Z$.

\[ a(x) = x^2 - x - 6. \]

Für den Leitkoeffizienten des Polynoms gilt $a_2=1$: Es handelt sich folglich um ein normiertes Polynom. Das Polynom $a(x)$ besitzt die beiden ganzzahligen Nullstellen $x_1 = -2$ und $x_2 = 3$ und kann wie folgt als Produkt von Linearfaktoren dargestellt werden:

a(x) = \underbrace{(x+2)}_{=\ x-(-2)} \cdot (x-3).

Beispiel 2

Beim folgenden Polynom $b(x)$ handelt es sich um ein kubisches Polynom mit Grad 3 und Koeffizienten aus den rationalen Zahlen $\Q$.

b(x) = x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{2}.

Für den Leitkoeffizienten des Polynoms gilt $b_3=1$: Es handelt sich folglich um ein normiertes Polynom. Das Polynom $b(x)$ besitzt eine rationale Nullstelle $x_1 = \frac{1}{2}$ und kann wie folgt als Produkt von Linearfaktoren dargestellt werden:

b(x) = \left( x-\frac{1}{2} \right) \cdot (x^2+1).

Das Polynom $x^2+1$ ist im Bereich der rationalen Zahlen irreduzibel.

Beispiel 3

Beim folgenden Polynom $c(x)$ handelt es sich um ein Polynom mit Grad 4 und Koeffizienten aus den komplexen Zahlen $\C$.

\[ c(x) = 2x^4 - 2. \]

Für den Leitkoeffizienten des Polynoms gilt $c_4=2$: Es handelt sich folglich nicht um ein normiertes Polynom. Das Polynom $c(x)$ besitzt vier komplexe Nullstellen $x_1 = 1$, $x_2=-1$, $x_3 = i$ und $x_4 = -i$ und kann wie folgt als Produkt von Linearfaktoren dargestellt werden:

c(x) = 2 \cdot (x-1) \cdot \underbrace{(x+1)}_{=\ x-(-1)} \cdot (x-i) \cdot \underbrace{(x+i)}_{=\ x-(-i)}.

Beispiel 4

Beim folgenden Polynom $d(x)$ handelt es sich um ein konstantes Polynom mit Grad 0 und Koeffizienten aus den ganzen Zahlen $\Z$.

\[ d(x) = 42. \]

Für den Leitkoeffizienten des Polynoms gilt $d_0=42$: Es handelt sich folglich nicht um ein normiertes Polynom. Das Polynom $d(x)$ besitzt keine Nullstellen.

Beispiel 5

Beim folgenden Polynom $e(x)$ handelt es sich um ein quadratisches Polynom mit Grad 2 und Koeffizienten aus dem Restklassenring $\Z_2$.

e(x) = x^2 + {[1]}_2.

Für den Leitkoeffizienten des Polynoms gilt $e_2={[1]}_2$: Es handelt sich folglich um ein normiertes Polynom. Das Polynom $e(x)$ besitzt eine doppelte Nullstelle $x_1 = {[1]}_2$ und kann wie folgt als Produkt von Linearfaktoren dargestellt werden:

e(x) = {\underbrace{\left(x + {[1]}_2 \right)}_{=\ x - {[1]}_2}}^2.

Arithmetische Operationen

Addition

Hauptartikel: Addition von Polynomen

Gegeben seien zwei Polynome $a(x)$ und $b(x)$:

\begin{align*} a(x) &= \sum\limits_{k=0}^{n}{a_kx^k} \\[0.5em] b(x) &= \sum\limits_{k=0}^{m}{b_kx^k}. \end{align*}

Zum Berechnen der Summe $a(x)+b(x)$ werden die Polynome koeffizientenweise addiert. Koeffizienten von Termen $x^k$, die in $a(x)$ oder $b(x)$ nicht auftauchen, werden implizit als Null angenommen. Es gilt:

a(x)+b(x) = \sum\limits_{k=0}^{\max(n,m)}{(a_k+b_k)x^k}

Subtraktion

Hauptartikel: Subtraktion von Polynomen

Gegeben seien zwei Polynome $a(x)$ und $b(x)$:

\begin{align*} a(x) &= \sum\limits_{k=0}^{n}{a_kx^k} \\[0.5em] b(x) &= \sum\limits_{k=0}^{m}{b_kx^k}. \end{align*}

Zum Berechnen der Differenz $a(x)-b(x)$ werden die Polynome koeffizientenweise subtrahiert. Koeffizienten von Termen $x^k$, die in $a(x)$ oder $b(x)$ nicht auftauchen, werden implizit als Null angenommen. Es gilt:

a(x)-b(x) = \sum\limits_{k=0}^{\max(n,m)}{(a_k-b_k)x^k}

Multiplikation

Hauptartikel: Multiplikation von Polynomen

Gegeben seien zwei Polynome $a(x)$ und $b(x)$:

\begin{align*} a(x) &= \sum\limits_{k=0}^{n}{a_kx^k} \\[0.5em] b(x) &= \sum\limits_{k=0}^{m}{b_kx^k}. \end{align*}

Zum Berechnen des Produkts $a(x) \cdot b(x)$ werden die Polynome mithilfe des (allgemeinen) Distributivgesetzes ausmultipliziert. Es gilt:

a(x) \cdot b(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}{\sum\limits_{\ell=0}^{m}{a_k b_\ell x^{k+\ell}}}

Division

Hauptartikel: Division von Polynomen

Für zwei Polynome $a(x)$ und $b(x)$ handelt es sich bei der Division $a(x):b(x)$ um eine Zerlegung mit Rest, d. h., es existieren eindeutig bestimmte Polynome $q(x)$ und $r(x)$ mit $\grad(r(x)) \lt \grad(b(x))$ oder $r(x)=0_\mathcal{R}$, so dass gilt:

a(x) = q(x) \cdot b(x) + r(x).

Potenzreihen

Hauptartikel: Potenzreihen

Die einem Polynom zugrundeliegende Idee kann zu einer unendliche Reihe erweitert werden. Eine Reihe der Form

p(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}{a_kx^k}

wird als Potenzreihe bezeichnet. Potenzreihen spielen in der Analysis eine wichtige Rolle und können beispielsweise zur Beschreibung und Untersuchung von Eigenschaften von Funktionen verwendet werden.

Vereinfacht gesagt: Bei einer Potenzreihe handelt es sich um ein unendliches Polynom.

Polynome in der abstrakten Algebra

Hauptartikel: Polynomring

In der abstrakten Algebra wird ein Polynom als (unendliche) Folge von Koeffizienten eines Rings $\mathcal{R} = \bigl(R,\oplus,\odot\bigr)$ definiert, wobei alle bis auf endlich viele Koeffizienten Null sind:

\bigl( a_0, a_1, \ldots, a_n, 0_R, 0_R, \ldots \bigr) \in R \times R \times \ldots.

Gemeinsam mit einer auf diesen Folgen definierten Addition und Multiplikation, die im Wesentlichen der gewöhnlichen Addition und Multiplikation von Polynomen entsprechen, bilden diese Folgen selbst einen Ring – den Polynomring $\mathcal{R}[X]$.

Polynome in der linearen Algebra

Hauptartikel: Polynomraum

Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper $\mathcal{K}$ bildet gemeinsam mit der gewöhnlichen Addition von Polynomen sowie der skalaren Multiplikation mit Skalaren aus dem Körper $\mathcal{K}$ einen Vektorraum – den Polynomraum. Bei der Teilmenge aller Polynome mit einem bestimmten Maximalgrad handelt es sich um einen Untervektorraum des Polynomraums.