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Lineare Unabhängigkeit von Polynomen – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Lineare Unabhängigkeit

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Lineare Unabhängigkeit von Polynomen erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 3

Gegeben seien die folgenden Polynome mit Koeffizienten aus $\Q$ :

\begin{align*}p_{1}(x) &= x^2 + x \\[0.5em]p_{2}(x) &= x - 2 \\[0.5em]p_{3}(x) &= 2x^2 + x + 3\end{align*}

Entscheide, ob die Polynome linear abhängig oder linear unabhängig sind.

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.

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Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

Anzahl Polynome:

–

Grad der Polynome:

–

Anzahl unabhängiger Polynome:

–

Typ:

Ganze Zahlen $\Z$

Rationale Zahlen $\Q$

Restklassenkörper $\Z_p$ mit $p=$

Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!

Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Löse deine eigenen Aufgaben oder lasse deiner Neugier freien Lauf – mit voller Unterstützung des Generators.

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Gib zunächst die Anzahl der zu überprüfenden Polynome sowie den Zahlenbereich an, aus dem die Koeffizienten der Polynome stammen sollen.

Anzahl:

Typ:

Rationale Zahlen $\Q$

Restklassenkörper $\Z_p$ mit $p=$

Gib die Polynome ein, die auf lineare Unabhängigkeit überprüft werden sollen.

\[p_1=\]

$ 0$

\[p_2=\]

$ 0$

\[p_3=\]

$ 0$

Aufgabe lösen

Musterlösung (Polynome)

Musterlösung mit Polynomen

Um zu entscheiden, ob die Polynome $$p_1,p_2,p_3$$ linear abhängig oder linear unabhängig sind, muss die nachfolgende Gleichung gelöst werden.

\lambda_1p_1(x) + \lambda_2p_2(x) + \lambda_3p_3(x) = 0

Zunächst werden die Polynome $$p_1,p_2,p_3$$ in die Gleichung eingesetzt und der resultierende Gesamtausdruck anschließend nach Potenzen gruppiert.

\begin{align*}0 &=x^{2} \cdot \left( \lambda_1+2\lambda_3 \right) \\&+ x^{1} \cdot \left( \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 \right) \\&+ x^{0} \cdot \left( -2\lambda_2+3\lambda_3 \right)\end{align*}

Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn ihre Koeffizienten übereinstimmen. Aus der vorausgehenden Gleichung ergibt sich dementsprechend das nachfolgende lineare Gleichungssystem, mit dessen Hilfe die gesuchten Parameter $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ berechnet werden können.

\begin{alignedat}{4}\lambda_1 &\ &\ &\ + &\ 2\lambda_3 &\ = &\ 0 \\[0.5em]\lambda_1 &\ + &\ \lambda_2 &\ + &\ \lambda_3 &\ = &\ 0 \\[0.5em] &\ - &\ 2\lambda_2 &\ + &\ 3\lambda_3 &\ = &\ 0\end{alignedat}

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 3 & 0 \end{array}\right]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\begin{array}{rrr|r|l}1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]1 & 1 & 1 & 0 & \text{II} - \text{I} \\[0.25em]0 & -2 & 3 & 0 & \\[0.25em]\hline1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & -1 & 0 & \\[0.25em]0 & -2 & 3 & 0 & \text{III} + 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]\hline1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & -1 & 0 & \\[0.25em]0 & 0 & 1 & 0 & \end{array}

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\begin{align*}\lambda_3 &= 0 \\[1em]\lambda_2 &= 0+\lambda_3 \\[0.5em]&= 0+0 \\[0.5em]&= 0 \\[1em]\lambda_1 &= 0-2\lambda_3 \\[0.5em]&= 0-2 \cdot 0 \\[0.5em]&= 0\end{align*}

Da nur die triviale Lösung $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$ für das Gleichungssystem existiert, sind die Polynome $$p_1,p_2,p_3$$ linear unabhängig.

Musterlösung (Vektoren)

Musterlösung mit Vektoren

Um zu entscheiden, ob die Polynome $$p_1,p_2,p_3$$ linear abhängig oder linear unabhängig sind, muss die nachfolgende Gleichung gelöst werden.

\lambda_1p_1(x) + \lambda_2p_2(x) + \lambda_3p_3(x) = 0

Die Polynome $$p_1,p_2,p_3$$ können durch Vektoren $$v_1,v_2,v_3$$ repräsentiert werden, deren Einträge den Koeffizienten der Polynome entsprechen.

v_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad v_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} \quad v_{3} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}

Anschließend kann anstelle der ursprünglichen Polynomgleichung die folgende Vektorgleichung gelöst werden, bei der es sich um ein lineares Gleichungssystem handelt.

\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \lambda_3v_3 = 0

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 3 & 0 \end{array}\right]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\begin{array}{rrr|r|l}1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]1 & 1 & 1 & 0 & \text{II} - \text{I} \\[0.25em]0 & -2 & 3 & 0 & \\[0.25em]\hline1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & -1 & 0 & \\[0.25em]0 & -2 & 3 & 0 & \text{III} + 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]\hline1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]0 & 1 & -1 & 0 & \\[0.25em]0 & 0 & 1 & 0 & \end{array}

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\begin{align*}\lambda_3 &= 0 \\[1em]\lambda_2 &= 0+\lambda_3 \\[0.5em]&= 0+0 \\[0.5em]&= 0 \\[1em]\lambda_1 &= 0-2\lambda_3 \\[0.5em]&= 0-2 \cdot 0 \\[0.5em]&= 0\end{align*}

Da nur die triviale Lösung $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$ für das Gleichungssystem existiert, sind die Polynome $$p_1,p_2,p_3$$ linear unabhängig.