Multiplikative Inverse von Restklassen – Interaktiver Aufgabengenerator

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Multiplikative Inverse von Restklassen erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 2

Bestimme das multiplikative Inverse der Restklasse $ [23]_{42}$ im Restklassenring $ \Z_{42}$ mithilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus.

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Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.

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Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

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Gib die Zahlen $a$ und $m$ ein, für die das multiplikative Inverse der Restklasse $ {[a]}_m$ im Restklassenring $\Z_m$ bestimmt werden soll.

\[a=\]

\[m=\]

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Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Zum Bestimmen des multiplikativen Inversen der Restklasse $ [23]_{42}$ im Restklassenring $\Z_{42}$ muss mit dem euklidischen Algorithmus zunächst der größte gemeinsame Teiler von $ 42$ und $ 23$ berechnet werden.

\[\begin{align*}
42 &= 1 \cdot 23 + 19 \\[0.5em]
23 &= 1 \cdot 19 + 4 \\[0.5em]
19 &= 4 \cdot 4 + 3 \\[0.5em]
4 &= 1 \cdot 3 + 1 \\[0.5em]
3 &= 3 \cdot 1 + 0
\end{align*}\]

Der größte gemeinsame Teiler $ 1$ kann wie üblich an der vorletzten Zeile abgelesen werden. Da $ 42$ und $ 23$ folglich teilerfremd sind, kann das gesuchte multiplikative Inverse durch Rückwärtseinsetzen gefunden werden.

\[\begin{align*}
1 &=1 \cdot 4-1 \cdot 3 \\[0.5em]
&=1 \cdot 4-1 \cdot \left(19 - 4 \cdot 4\right) \\[0.5em]
&=-1 \cdot 19 + 5 \cdot 4 \\[0.5em]
&=-1 \cdot 19 + 5 \cdot \left(23 - 1 \cdot 19\right) \\[0.5em]
&=5 \cdot 23-6 \cdot 19 \\[0.5em]
&=5 \cdot 23-6 \cdot \left(42 - 1 \cdot 23\right) \\[0.5em]
&=-6 \cdot 42 + 11 \cdot 23
\end{align*}\]

Aus dieser Gleichheit kann insbesondere die folgende Kongruenz abgelesen werden:

\[\begin{align*}
1 &\equiv \underbrace{-6 \cdot 42}_{\equiv 0} + 11 \cdot [23]_{42} \pmod{42} \\[0.5em]
&\equiv 11 \cdot [23]_{42} \pmod{42}
\end{align*}\]

Bei $x=11$ handelt es sich um das gesuchte multiplikative Inverse von $ 23$ in $\Z_{42}$.

Lösung überprüfen

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Gib das berechnete multiplikative Inverse der Restklasse $ [23]_{42}$ im Restklassenring $\Z_{42}$ ein.

Invertierbar:

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