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Arkussinus (Funktion)

Die Arkussinus-Funktion (abgekürzt: arcsin, asin; manchmal auch sin^-1) gehört zu den Arkusfunktionen und ist die Umkehrfunktion der Sinus-Funktion. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der Trigonometrie verwendet (z. B. bei der Bestimmung von Winkeln, falls der Sinus des Winkels bekannt ist), aber auch in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften.

Definition

Bei der Arkussinus-Funktion (abgekürzt: arcsin, asin; manchmal auch sin^-1) handelt es sich um die Umkehrfunktion der Sinus-Funktion. Sie ordnet dem Sinus eines Winkels wieder den ursprünglichen Winkel zu. (Hinweis: Da die Sinus-Funktion periodisch und nicht bijektiv ist, wird sie auf das Intervall $\bigl[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \bigr]$ eingeschränkt, damit sie umgekehrt werden kann.)

Die Arkussinus-Funktion kann wie folgt formal definiert werden (mit $x,\varphi \in \R$):

\arcsin(x) = \varphi \quad\Leftrightarrow\quad \sin(\varphi) = x.

Hierbei gilt:

Die Arkussinus-Funktion ist nur für Werte $x \in \R$ mit $-1 \leq x \leq 1$ definiert, da die Sinus-Funktion keine Funktionswerte außerhalb des Intervalls $\bigl[ -1,1 \bigr]$ annimmt.
Bei $\arcsin(x)$ handelt es sich um einen Winkel $\varphi \in \R$ im Intervall $\bigl[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \bigr]$.

Zusammengefasst: Die Arkussinus-Funktion $\arcsin(x)$ gibt den Winkel $\varphi$ im Intervall $\bigl[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \bigr]$ an, für den der Sinus den Wert $x$ annimmt.

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Arkussinus-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$-1 \leq x \leq 1$
Wertebereich	$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin(x) \leq \frac{\pi}{2}$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton steigend
Krümmung	streng konkav für $x \leq 0$ streng konvex für $x \geq 0$
Symmetrien	punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	keine
Nullstellen	$x_0=0$
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extremstellen	globales Minimum bei $\left( -1, -\frac{\pi}{2} \right)$ globales Maximum bei $\left( 1, \frac{\pi}{2} \right)$
Wendepunkte	$x_0=0$

Ableitung

Hauptartikel: Arkussinus (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Arkussinus-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $-1 \lt x \lt 1$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \arcsin(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \arcsin(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Arkussinus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Arkussinus-Funktion lautet:

\int{\arcsin(x)\ dx} = x \cdot \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + \mathcal{C}

Weitere Stammfunktionen:

\int{\arcsin^n(x)\ dx} = x \cdot \arcsin^n(x) + n \cdot \sqrt{1-x^2} \cdot \arcsin^{n-1}(x) - n \cdot (n-1) \cdot \int{\arcsin^{n-2}(x)\ dx} + \mathcal{C}

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Arkussinus (Reihenentwicklung)

Die Arkussinus-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \arcsin(x) &= \frac{1}{2} \cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{{\left( \frac{1}{2} \right)}_n}{(2k+1) \cdot k!} \cdot x^{2k+1}} \\[0.75em] &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{(2k-1)!!}{(2k+1) \cdot (2k)!!} \cdot x^{2k+1}} \\[0.75em] &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\binom{2k}{k} \cdot \frac{1}{(2k+1) \cdot 4^k} \cdot x^{2k+1}} \\[0.75em] &= x + \frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{40} x^5 + \frac{5}{112} x^7 + \frac{35}{1152} x^9 + \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Arkussinus-Funktion durch die anderen Arkusfunktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \arcsin(x) &= \frac{\pi}{2} - \arccos\left( x \right) \\[0.75em] &= \arctan\left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - \arccot\left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - \arcsec\left( \frac{1}{x} \right) \\[0.75em] &= \arccsc\left( \frac{1}{x} \right) \end{align*}