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Arkussinus

Arkussinus (abgekürzt: $\arcsin$, $\asin$; manchmal auch $\sin^{-1}$) gehört zu den Arkusfunktionen und ist die Umkehrfunktion von Sinus.

Inhalt

Definition

Die Funktion lässt sich durch die folgende Formel ausdrücken:

\[ \]

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Graph der Arkussinusfunktion $\arcsin(x)$

Definitionsbereich	$-1 \leq x \leq 1$
Wertebereich	$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin(x) \leq \frac{\pi}{2}$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton steigend
Krümmung	streng konkav für $x \leq 0$ streng konvex für $x \geq 0$
Symmetrien	Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	$\arcsin(x) \rightarrow \pm\frac{\pi}{2}$ für $x \rightarrow \pm 1$
Nullstellen	$x_0=0$
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extrema	keine
Wendepunkte	$x_0=0$

Die Ableitung von Arkussinus lautet:

\Bigl[ \arcsin(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Die Stammfunktion von Arkussinus lautet:

\int{\arcsin(x)\ dx} = x \cdot \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}}

Weitere Stammfunktionen:

\int{\arcsin^n(x)\ dx} = x \cdot \arcsin^n(x) + n \cdot \sqrt{1-x^2} \cdot \arcsin^{n-1}(x) - n \cdot (n-1) \cdot \int{\arcsin^{n-2}(x)\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}}

Die Reihenentwicklung von Arkussinus ist

\begin{align*} \arcsin(x) &= \frac{1}{2} \cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{{\left( \frac{1}{2} \right)}_n}{(2k+1) \cdot k!} \cdot x^{2k+1}} \\[0.75em] &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{(2k-1)!!}{(2k+1) \cdot (2k)!!} \cdot x^{2k+1}} \\[0.75em] &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\binom{2k}{k} \cdot \frac{1}{(2k+1) \cdot 4^k} \cdot x^{2k+1}} \\[0.75em] &= x + \frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{40} x^5 + \frac{5}{112} x^7 + \frac{35}{1152} x^9 + \ldots \end{align*}