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Sinus

Sinus (abgekürzt: $\sin$) gehört zu den trigonometrischen Funktionen.

Inhalt

Definition

Die Funktion lässt sich durch die folgende Formel ausdrücken: \[ TODO \]

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Graph der Sinusfunktion $\sin(x)$

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$-1 \leq \sin(x) \leq 1$
Periodizität	Periodisch mit Periodenlänge $2\pi$ $\sin(x+2\pi) = \sin(x)$
Monotonie	streng monoton steigend für $2n \cdot \pi \leq x \leq \left(2n + \frac{1}{2} \right) \cdot \pi$ streng monoton fallend für $\left(2n + \frac{1}{2} \right) \cdot \pi \leq x \leq \left(2n + \frac{3}{2} \right) \cdot \pi$ streng monoton steigend für $\left(2n + \frac{3}{2} \right) \cdot \pi \leq x \leq \left(2n + 2 \right) \cdot \pi$
Krümmung	streng konkav für $2n \cdot \pi \leq x \leq \left(2n+1 \right) \cdot \pi$ streng konvex für $\left(2n+1 \right) \cdot \pi \leq x \leq \left(2n+2 \right) \cdot \pi$
Symmetrien	Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	keine
Nullstellen	$x = n \cdot \pi$
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extrema	Minimum bei $x = \left( 2n+\frac{3}{2} \right) \cdot \pi$ Maximum bei $x = \left( 2n+\frac{1}{2} \right) \cdot \pi$
Wendepunkte	$x_1 = 2n \cdot \pi$ $x_2 = \left( 2n+1 \right) \cdot \pi$

Die Ableitung von Sinus lautet:

\Bigl[ \sin(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)

Die Stammfunktion von Sinus lautet:

\int{\sin(x)\ dx} = -\cos(x) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\sin^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n} \cdot \cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \int{\sin^{n-2}(x)\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\sin(x)}\ dx} = \int{\sin^{-1}(x)\ dx} &= \frac{1}{2} \ln \left| \cos(x) - 1 \right| - \frac{1}{2} \ln \left| \cos(x) + 1 \right| {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\sin^n(x)}\ dx} = \int{\sin^{-n}(x)\ dx} &= -\frac{\cos(x)}{(n-1) \cdot \sin^{n-1}(x)} + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\frac{1}{\sin^{n-2}(x)}\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \end{align*}

Die Reihenentwicklung von Sinus ist

\begin{align*} \sin(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{{(-1)}^k}{(2k+1)!} \cdot x^{2k+1}} \\[0.75em] &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - \frac{x^{11}}{11!} + \ldots \end{align*}