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Bijektivität

Bei einer bijektiven Funktion bzw. bijektiven Abbildung (auch Bijektion genannt) handelt es sich um eine Abbildung, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist – also um eine Abbildung, bei der verschiedene Elemente der Definitionsmenge stets verschiedene Bilder haben und jedes Element der Zielmenge mindestens (genauer: exakt) ein Urbild besitzt. Eine bijektive Abbildung wird auch umkehrbar eindeutig oder eineindeutig genannt. Allgemein: Bei einer bijektiven Funktion handelt es sich um einen Spezialfall einer links- und rechtseindeutigen Relation, die zudem links- und rechtstotal ist.

Inhalt

Definition
Beispiele
Eigenschaften
Mächtigkeit von Mengen

Definition

Gegeben seien zwei Mengen $A$ und $B$ sowie eine Funktion bzw. Abbildung $f: A \rightarrow B$. Die Abbildung $f$ heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist – wenn sie unterschiedlichen Elementen $a_1$ und $a_2$ der Definitionsmenge $A$ also stets verschiedene Elemente $f(a_1)$ und $f(a_2)$ der Zielmenge $B$ zuordnet und wenn für alle Elemente $b$ der Zielmenge $B$ stets ein Element $a$ der Definitionsmenge $A$ existiert, das durch die Abbildung $f$ auf $b$ abgebildet wird, für das also $f(a)=b$ gilt:

\begin{array}{c} \forall a_1,a_2 \in A \Bigl( a_1 \neq a_2 \Rightarrow f(a_1) \neq f(a_2) \Bigr) \\[0.5em] \forall b \in B \Bigl( \exists a \in A \bigl( f(a)=b \bigr) \Bigr). \end{array}

Da verschiedene Elemente der Definitionsmenge bei einer bijektiven Abbildung stets verschiedene Bilder besitzen, kann die Zielmenge nicht weniger mächtig als die Definitionsmenge sein. Da alle Elemente der Zielmenge bei einer bijektiven Abbildung außerdem stets ein Urbild besitzen müssen, kann die Definitionsmenge nicht weniger mächtig als die Zielmenge sein, woraus unmittelbar die Gleichmächtigkeit der Definitions- und der Zielmenge folgt. Für bijektive Abbildungen gilt somit:

\[ |A| = |B|. \]

Beispiele

Bei den folgenden Beispielen handelt es sich um bijektive Abbildungen:

Die Abbildung $f_1: \Z \rightarrow \Z$, $n \mapsto n+2$ ist bijektiv.
Die Abbildung $f_2: \Q \rightarrow \Q$, $n \mapsto 2n-5$ ist bijektiv.
Die Abbildung $f_3: \R_0^+ \rightarrow \R_0^+$, $n \mapsto n^2$ ist bijektiv.

Bei den folgenden Beispielen handelt es sich um nicht bijektive Abbildungen:

Die Abbildung $f_1: \Z \rightarrow \Z$, $n \mapsto 2n+1$ ist nicht bijektiv.
Die Abbildung $f_2: \N \rightarrow \N$, $n \mapsto {(n+1)}^2$ ist nicht bijektiv.
Die Abbildung $f_3: \Z \times \N \rightarrow \Q$, $(m,n) \mapsto \frac{m}{n}$ ist nicht bijektiv.
Die Abbildung $f_4: \R \rightarrow \R$, $n \mapsto n^2$ ist nicht bijektiv.

Eigenschaften

Für bijektive Abbildungen gelten unter anderem die folgenden Eigenschaften:

Für bijektive Abbildungen $f: A \rightarrow B$ existiert stets eine Umkehrfunktion $f^{-1}: B \rightarrow A$.
Seien $A$ und $B$ endliche Mengen mit derselben Anzahl an Elementen. Für eine Abbildung $f: A \rightarrow B$ gilt dann:
- Ist die Abbildung $f$ injektiv, so ist $f$ ebenfalls bijektiv.
- Ist die Abbildung $f$ surjektiv, so ist $f$ ebenfalls bijektiv.
Für Abbildungen $f: A \rightarrow A$ einer endlichen Menge $A$ auf sich selbst gilt:
- $f$ ist injektiv $\Leftrightarrow$ $f$ ist surjektiv $\Leftrightarrow$ $f$ ist bijektiv.
- Hinweis: Für unendliche Mengen gilt dies im Allgemeinen nicht.
Für bijektive Abbildungen $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$ ist auch die Komposition $g \circ f$ eine bijektive Abbildung. Die Umkehrfunktion von $g \circ f$ ist dann $f^{-1} \circ g^{-1}$.
Für Abbildungen $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$ folgt aus der Bijektivität der Komposition $g \circ f$ stets die Injektivität der Abbildung $f$ sowie die Surjektivität der Abbildung $g$.
Ist $f: A \rightarrow B$ eine Abbildung einer Menge $A$ auf eine Menge $B$ und existiert eine Abbildung $g: B \rightarrow A$ mit $g \circ f = \id_A \quad\text{sowie}\quad f \circ g = \id_B,$ wobei $\id_A$ bzw. $\id_B$ die identische Abbildung auf $A$ bzw. $B$ bezeichnet, so ist die Abbildung $f$ bijektiv und $g$ ist die Umkehrfunktion von $f$, d. h. $g = f^{-1}$.
Die Menge der Permutationen einer Menge $A$ bildet gemeinsam mit der Komposition von Funktionen eine Gruppe, die sogenannte symmetrische Gruppe von $A$.

Mächtigkeit von Mengen

Hauptartikel: Mächtigkeit einer Menge

Der Begriff der Bijektivität spielt eine wichtige Rolle beim Vergleich der Mächtigkeiten von Mengen.

Zwei Mengen $A$ und $B$ heißen gleichmächtig, wenn es bijektive Abbildungen $A \rightarrow B$ (und somit auch bijektive Abbildungen $B \rightarrow A$) gibt.