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Identische Abbildung

Die identische Abbildung (auch Identität) ist eine Abbildung bzw. Funktion, die genau ihr Argument zurückgibt, die also jeden Wert auf sich selbst abbildet.

Definition

Für eine Menge $A$ ist die identische Abbildung $\id_A$ (auch Identität) wie folgt definiert:

\begin{array}{c} \id_A: A \rightarrow A \\[0.5em] x \mapsto x. \end{array}

Für jedes Element $a \in A$ gilt somit, dass es auf sich selbst abgebildet wird:

\id_A(a) = a.

Bei der identischen Abbildung $\id_A$ handelt es sich um eine bijektive Funktion.

Eigenschaften

Zusammenhang mit der Komposition von Funktionen

Für eine beliebige Funktion $f: A \rightarrow B$ gilt für die Komposition mit der identischen Abbildung:

\begin{align*} \id_B \circ f &= f \\[0.5em] f \circ \id_A &= f. \end{align*}

Die identische Abbildung $\id_B$ bzw. $\id_A$ ist bezüglich der Komposition $\circ$ folglich linksneutral bzw. rechtsneutral.

Zusammenhang mit algebraischen Strukturen

Für die identische Abbildung gelten unter anderem die folgenden Zusammenhänge mit algebraischen Strukturen:

Sei $\mathcal{F}(A)$ die Menge aller Funktionen $A \rightarrow A$ auf einer Menge $A$. Bei der identischen Abbildung $\id_A$ handelt es sich um das neutrale Element der Komposition $\circ$. Die Menge $\mathcal{F}(A)$ bildet zusammen mit der Komposition somit einen Monoid.
Als neutrales Element des Monoids $\mathcal{F}(A)$ ist die Identität $\id_A$ stets eine idempotente Abbildung – neutrale Elemente sind in jedem Monoid idempotent. Es gilt: $\id_A \circ \id_A = \id_A.$
Darüber hinaus ist $\id_A$ eine Involution (d. h. selbstinvers), da die identische Abbildung ihre eigene Umkehrfunktion ist: $\id_A^{-1} = \id_A.$
Bei der identischen Abbildung handelt es sich zudem um das neutrale Element von symmetrischen Gruppen und Permutationsgruppen – also von Gruppen von Permutationen.