Beschränkte Menge

Bei einer beschränkten Menge handelt es sich um eine Menge, die bezüglich einer Ordnungsrelation nach oben bzw. nach unten beschränkt ist, das heißt, dass alle Elemente der Menge nicht oberhalb bzw. nicht unterhalb bestimmter Schranken liegen.

Definitionen

Obere Schranke

Gegeben sei eine Menge \(M\), eine auf dieser Menge definierte Halbordnung \(\leq\) sowie eine Teilmenge \(S\) von \(M\).

Ein Element \(b \in M\) wird obere Schranke von \(S\) genannt, falls gilt:

In Worten: Alle Elemente von \(S\) sind kleiner oder gleich der oberen Schranke \(b\).

Die Menge \(S\) ist nach oben beschränkt (bezüglich der Relation \(\leq\)), falls eine solche Schranke \(b\) existiert, andernfalls ist sie nach oben unbeschränkt.

Untere Schranke

Gegeben sei eine Menge \(M\), eine auf dieser Menge definierte Halbordnung \(\leq\) sowie eine Teilmenge \(S\) von \(M\).

Ein Element \(a \in M\) wird untere Schranke von \(S\) genannt, falls gilt:

In Worten: Alle Elemente von \(S\) sind größer oder gleich der unteren Schranke \(a\).

Die Menge \(S\) ist nach unten beschränkt (bezüglich der Relation \(\leq\)), falls eine solche Schranke \(b\) existiert, andernfalls ist sie nach unten unbeschränkt.

Beschränkte Menge

Gegeben sei eine Menge \(M\), eine auf dieser Menge definierte Halbordnung \(\leq\) sowie eine Teilmenge \(S\) von \(M\).

Die Menge \(S\) ist beschränkt (bezüglich der Relation \(\leq\)), falls sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist. Andernfalls ist sie unbeschränkt.

Beschränkte Funktion

Eine Funktion \(f: X \rightarrow M\) in eine halbgeordnete Menge \(M\) ist nach oben bzw. nach unten beschränkt, falls die Bildmenge

nach oben bzw. nach unten beschränkt ist. Ist die Funktion \(f\) sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt, so ist \(f\) beschränkt; andernfalls ist \(f\) unbeschränkt.

Beschränkte Mengen in der Analysis

Für eine Teilmenge \(S\) der reellen Zahlen \(\R\) gilt:

• Die Menge \(S\) ist nach oben beschränkt, falls es eine reelle Zahl \(k \in \R\) gibt, sodass gilt:
  \[ \forall s \in S: s \leq k. \]
  Jede Zahl \(k\), die diese Bedingung erfüllt, wird obere Schranke von \(S\) genannt.
• Die Menge \(S\) ist nach unten beschränkt, falls es eine reelle Zahl \(k \in \R\) gibt, sodass gilt:
  \[ \forall s \in S: k \leq s. \]
  Jede Zahl \(k\), die diese Bedingung erfüllt, wird untere Schranke von \(S\) genannt.
• Die Menge \(S\) ist beschränkt, falls sie nach oben und nach unten beschränkt ist. Somit ist die Menge \(S\) genau dann beschränkt, wenn sie in einem endlichen Intervall liegt.
• Die Menge \(S\) ist genau dann beschränkt, wenn es eine reelle Zahl \(r \in \R\) gibt, sodass \(|x| \leq r\) für alle \(x \in S\) gilt. Die Menge liegt dann in einem offenen Intervall um den Nullpunkt \(0\) mit dem Radius \(r\).
• Die kleinste obere Schranke – falls existent – wird Supremum genannt.
• Die größte untere Schranke – falls existent – wird Infimum genannt.

Für eine Teilmenge \(S\) der komplexen Zahlen \(\C\) gilt:

• Die Menge \(S\) ist genau dann beschränkt, wenn es eine reelle Zahl \(r \in \R\) gibt, sodass die Beträge \(|z|\) aller komplexen Zahlen \(z \in S\) die Zahl \(r\) nicht übersteigen. Die Menge liegt dann in einer Kreisscheibe um den Nullpunkt \(0\) mit dem Radius \(r\).