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Reelle Zahlen

Inhalt

Definition

Axiomatischer Ansatz

Es sei $\R$ die Menge der reellen Zahlen, deren Eigenschaften durch Axiome festgelegt werden.

  1. Körperaxiome

    Auf der Menge $\R$ werden zwei zweistellige Operationen, eine Addition $+$ und eine Multiplikation $\cdot$, definiert, so dass $(\R,+,\cdot)$ einen Körper bildet. Für $(R, +, \cdot)$ gelten also die folgenden Eigenschaften:

    • Für $a,b,c \in \R$ gelten die folgenden Assoziativgesetze:
      \begin{align*} \bigl( a + b \bigr) + c &= a + \bigl( b + c \bigr) \\[0.5em] \bigl( a \cdot b \bigr) \cdot c &= a \cdot \bigl( b \cdot c \bigr). \end{align*}
    • Für $a,b \in \R$ gelten die folgenden Kommutativgesetze:
      \begin{align*} a + b &= b + a \\[0.5em] a \cdot b &= b \cdot a. \end{align*}
    • Für $a,b,c \in \R$ gilt das folgende Distributivgesetz:
      \[ a \cdot \bigl( b + c \bigr) = a \cdot b + a \cdot c. \]
    • Es existieren neutrale Elemente $0,1 \in \R$, so dass für jedes $a \in \R$ die folgenden Eigenschaften gelten:
      \[ \begin{align*} a + 0 &= 0+a = a \\[0.5em] a \cdot 1 &= 1 \cdot a = a. \end{align*} \]
    • Zu jedem Element $a \in \R$ existieren inverse Element $-a \in \R$ bzw. $a^{-1} \in \R$ (für $a \neq 0$), so dass gilt:
      \[ \begin{align*} a + \bigl(-a\bigr) &= \bigl(-a\bigr)+a = 0 \\[0.5em] a \cdot a^{-1} &= a^{-1} \cdot a = 1. \end{align*} \]

  2. Anordnungsaxiome

    Auf der Menge $\R$ ist eine totale Ordnung $\leq$ definiert, für die Folgendes gilt:

    • Für alle $a \in \R$ gilt $a \leq a$ (Reflexivität).
    • Für alle $a,b \in \R$ folgt aus $a \leq b$ und $b \leq a$ stets $a=b$ (Antisymmetrie).
    • Für alle $a,b,c \in \R$ folgt aus $a \leq b$ und $b \leq c$ stets $a \leq c$ (Transitivität).
    • Für alle $a,b \in \R$ gilt stets $a \leq b$ oder $b \leq a$ (Totalität).
    • Für alle $a,b,c \in \R$ folgt aus $a \leq b$ stets $a+c \leq b+c$.
    • Für alle $a,b \in \R$ folgt aus $0 \leq a$ und $0 \leq b$ stets $0 \leq a \cdot b$

  3. Vollständigkeitsaxiom

    $A, B \subseteq \R$ seien nichtleere Teilmengen der reellen Zahlen, für die $a \lt b$ für alle $a \in A$ und $b \in B$ gilt. Dann existiert ein $c \in \R$, für das $a \leq c \leq b$ für alle $a \in A$ und $b \in B$ gilt; dabei ist es zulässig, dass $c \in A$ oder $c \in B$ gilt.

Eigenschaften

Mächtigkeit