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Cramersche Regel
Definition
Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem, das $n$ Gleichungen sowie $n$ Unbekannte besitzt.
\begin{align*} \begin{alignedat}{5} a_{11}x_1 &\ + &\ a_{12}x_2 &\ + &\ \ldots &\ + &\ a_{1n}x_n &\ = &\ b_1 \\[0.5em] a_{21}x_1 &\ + &\ a_{22}x_2 &\ + &\ \ldots &\ + &\ a_{2n}x_n &\ = &\ b_2 \\[0.5em] & & & & & & &\ \ \ \vdots & \\[0.5em] a_{n1}x_1 &\ + &\ a_{n2}x_2 &\ + &\ \ldots &\ + &\ a_{nn}x_n &\ = &\ b_n \end{alignedat} \end{align*}
In Matrixform lautet dieses Gleichungssystem $Ax=b$ mit
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\[0.25em] a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\[0.25em] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{bmatrix},\quad x = \begin{bmatrix} x_1 \\[0.25em] x_2 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] x_n \end{bmatrix} \quad\text{und}\quad b = \begin{bmatrix} b_1 \\[0.25em] b_2 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] b_n \end{bmatrix}. \]
Des Weiteren sei vorausgesetzt, dass die Matrix $A$ invertierbar ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn $\det(A) \neq 0$ gilt.
Unter diesen Voraussetzungen ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar und die Einträge $x_i$ des eindeutig bestimmten Lösungsvektors $x$ sind gegeben durch
\[ x_i = \frac{\det\bigl(A_i\bigr)}{\det\bigl(A\bigr)} \quad(\text{für } 1 \leq i \leq n). \]
Die Matrizen $A_i$ erhält man, indem man die $i$-te Spalte der Koeffizientenmatrix $A$ durch den Lösungsvektor $b$ ersetzt:
\[ A_i = \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \ldots & a_{1n} \\[0.25em] a_{21} & \ldots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \ldots & a_{2n} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_{n1} & \ldots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \ldots & a_{nn} \end{bmatrix} \]
Beispiele
Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten
Lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten
Beweis
Für den Beweis der Cramerschen Regel verwendet man eine Matrix $X_i$, die aus der Einheitsmatrix entsteht, indem man die $i$-te Spalte durch den Lösungsvektor $x$ des Gleichungssystems $Ax=b$ ersetzt.
\[ X_i = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \ldots & x_1 & \ldots & 0 \\[0.25em] 0 & 1 & \ldots & x_2 & \ldots & 0 \\[0.25em] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0 & 0 & \ldots & \underbrace{x_n}_{i\text{-te Spalte}} & \ldots & 1 \end{bmatrix} \]
\[ X_i = \left[\begin{array}{ccccccc} \mid & & \mid & \mid & \mid & & \mid \\[0.25em] e_1 & \ldots & e_{i-1} & x & e_{i+1} & \ldots & e_n \\[0.25em] \mid & & \mid & \mid & \mid & & \mid \end{array}\right] \]
Multipliziert man die Koeffizientenmatrix $A$ mit der Matrix $X_i$, so erhält man die Matrix $A_i$.
\begin{align*} A \cdot X_i &= \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{bmatrix} \cdot \left[\begin{array}{ccccccc} \mid & & \mid & \mid & \mid & & \mid \\[0.25em] e_1 & \ldots & e_{i-1} & x & e_{i+1} & \ldots & e_n \\[0.25em] \mid & & \mid & \mid & \mid & & \mid \end{array}\right] \\[0.75em] &= \left[\begin{array}{ccccccc} a_{11} & & a_{1,i-1} & (a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n) & a_{1,i+1} & & a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\[0.25em] a_{n1} & & a_{n,i-1} & (a_{n1}x_1 + \ldots + a_{nn}x_n) & a_{n,i+1} & & a_{nn} \end{array}\right] \\[0.75em] &= \left[\begin{array}{ccccccc} a_{11} & & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & & a_{1n} \\[0.25em] \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\[0.25em] a_{n1} & & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & & a_{nn} \end{array}\right] \\[0.75em] &= A_i \end{align*}
Für die Determinante der Matrix $X_i$ gilt $\det(X_i)=x_i$, wie man durch Nachrechnen leicht überprüfen kann. Mit der Produktregel für Determinanten folgt hieraus
\begin{align*} \det\bigl(A\bigr) \cdot \det\bigl(X_i\bigr) &= \det\bigl(A_i\bigr) \\[0.5em] \det\bigl(A\bigr) \cdot x_i &= \det\bigl(A_i\bigr) \\[0.5em] x_i &= \det\bigl(A_i\bigr) \cdot {\det\bigl(A\bigr)}^{-1} \end{align*}
Da es sich bei $\det(A)$ gemäß Voraussetzung nicht um das Nullelement handelt, existiert das Inverse \({\det(A)}^{-1}\). Da die Division der Definition durch eine Multiplikation mit dem Inversen ersetzt wurde, gilt die Cramersche Regel für Gleichungssysteme mit Koeffizienten aus einem kommutativen Ring.
Bemerkungen zum Rechenaufwand
Das Lösen eines linearen Gleichungssystems mit $n$ Unbekannten mithilfe der Cramerschen Regel erfordert die Berechnung von $n+1$ Determinanten. Die Gesamtanzahl der arithmetischen Operationen wird durch die Berechnung dieser Determinanten dominiert und hängt im Wesentlichen vom dafür eingesetzten Verfahren ab.
Berechnet man die Determinanten mit der Leibniz-Formel, wie es ursprünglich von Cramer getan wurde, so sind für die Berechnung jeder Determinante insgesamt $(n-1) \cdot n!$ Multiplikationen und $n!-1$ Additionen erforderlich. Beispielsweise werden bei einem Gleichungssystem mit 4 Unbekannten zur Berechnung der Determinanten bereits 360 Multiplikationen und 115 Additionen benötigt. Verglichen mit anderen Verfahren sind dies sehr viele Operationen. Selbst unter Verwendung eines effizienteren Algorithmus zur Berechnung der Determinanten ist der Rechenaufwand für das Lösen eines linearen Gleichungssystems mit der Cramerschen Regel deutlich größer als beispielsweise beim Gaußschen Eliminationsverfahren.
