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Elementarmatrix

Eine Elementarmatrix ist eine Matrix, die sich von einer Einheitsmatrix nur um genau eine elementare Zeilenumformung unterscheidet. Eine elementare Zeilenumformung entspricht einer linksseitigen Multiplikation mit einer Elementarmatrix. Eine elementare Spaltenumformung entspricht einer rechtsseitigen Multiplikation mit einer Elementarmatrix.

Elementare Zeilenumformungen werden beispielsweise beim Gauß- oder Gauß-Jordan-Algorithmus verwendet, um eine Matrix in Zeilenstufenform bzw. reduzierte Zeilenstufenform zu überführen.

Allgemeines

Es werden drei Arten von Elementarmatrizen unterschieden, die jeweils einem der drei Typen elementarer Zeilenumformungen (bzw. Spaltenumformungen) entsprechen:

  • Vertauschen der Zeilen $Z_i$ und $Z_j$ (für $i \neq j$).
  • Multiplikation der Zeile $Z_i$ mit einem Skalar $\lambda \neq 0$.
  • Addition des $\lambda$-fachen der Zeile $Z_i$ zur Zeile $Z_j$ (für $i \neq j$).

Zum Ausführen einer elementaren Zeilenumformung muss die Matrix $A$ wie nachfolgend beschrieben von links mit einer Elementarmatrix multipliziert werden. Zum Ausführen einer elementaren Spaltenumformung muss die Matrix $A$ von rechts mit einer Elementarmatrix multipliziert werden.

Vertauschen von zwei Zeilen

Die erste Art von Zeilenoperationen auf einer Matrix $A$ ist das Vertauschen der Elemente der $i$-ten Zeile mit den Elementen der $j$-ten Zeile.

Die zur Vertauschung der $i$-ten und $j$-ten Zeile gehörende Elementarmatrix $T_{i,j}$ erhält man aus der Einheitsmatrix durch Vertauschen der $i$-ten und der $j$-ten Zeile.

\[ T_{i,j} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\[0.25em] & \ddots & & & & & \\[0.25em] & & 0 & & 1 & & \\[0.25em] & & & \ddots & & & \\[0.25em] & & 1 & & 0 & & \\[0.25em] & & & & & \ddots & \\[0.25em] & & & & & & 1 \end{bmatrix} \]

Eigenschaften

  • Die Matrix $T_{i,j}$ ist zu sich selbst invers. Es gilt $T_{i,j}^{-1} = T_{i,j}$.
  • Die Determinante der Matrix $T_{i,j}$ ist $-1$. Hieraus folgt:
    \[ \det\bigl(T_{i,j} \cdot A \bigr) = \det\bigl(T_{i,j}\bigr) \cdot \det\bigl( A \bigr) = -\det\bigl( A \bigr). \]
    Beim Vertauschen von zwei Zeilen der Matrix $A$ negiert sich folglich die Determinante von $A$.

Beispiel

\[ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 8 & 7 & 1 & 0 \\ 9 & 5 & 8 & 7 \\ 7 & 5 & 8 & 8 \\ 7 & 4 & 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 5 & 8 & 7 \\ 8 & 7 & 1 & 0 \\ 7 & 5 & 8 & 8 \\ 7 & 4 & 2 & 5 \end{bmatrix} \]

Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar

Die zweite Art von Zeilenoperationen ist das Multiplizieren einer Zeile mit einem Skalar $\lambda \neq 0$.

Die zu dieser Operation gehörende Elementarmatrix $T_i(\lambda)$ ist eine Diagonalmatrix, die an der $i$-ten Stelle den Wert $\lambda$ besitzt. Alle anderen Einträge auf der Diagonalen sind $1$.

\[ T_i(\lambda) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\[0.25em] & \ddots & & & & & \\[0.25em] & & 1 & & & & \\[0.25em] & & & \lambda & & & \\[0.25em] & & & & 1 & & \\[0.25em] & & & & & \ddots & \\[0.25em] & & & & & & 1 \end{bmatrix} \]

Eigenschaften

  • Die Inverse der Matrix $T_i(\lambda)$ ist die Matrix \({T_i(\lambda)}^{-1} = T_i(1/\lambda)\).
  • Die Matrix $T_i(\lambda)$ und ihre inverse Matrix \({T_i(\lambda)}^{-1}\) sind Diagonalmatrizen.
  • Die Determinante der Matrix $T_i(\lambda)$ ist $\lambda$. Hieraus folgt:
    \[ \det\bigl(T_i(\lambda) \cdot A \bigr) = \det\bigl(T_i(\lambda)\bigr) \cdot \det\bigl( A \bigr) = \lambda \cdot \det\bigl( A \bigr). \]
    Beim Multiplizieren einer Zeile der Matrix $A$ mit einem Skalar $\lambda$ wird folglich auch die Determinante von $A$ mit dem Skalar $\lambda$ multipliziert.

Addition von Zeilen

Die dritte Art von Zeilenoperationen ist die Addition des $\lambda$-fachen der $j$-ten Zeile zur $i$-ten Zeile.

Die zu dieser Operation gehörende Elementarmatrix $T_{i,j}(m)$ geht aus der Einheitsmatrix hervor, indem das Skalar $\lambda$ in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte eingetragen wird.

\[ T_{i,j}(m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\[0.25em] & \ddots & & & & & \\[0.25em] & & 1 & & & & \\[0.25em] & & & \ddots & & & \\[0.25em] & & \lambda & & 1 & & \\[0.25em] & & & & & \ddots & \\[0.25em] & & & & & & 1 \end{bmatrix} \]

Eigenschaften

  • Die Inverse der Matrix $T_{i,j}(m)$ ist die Matrix \({T_{i,j}(m)}^{-1} = T_{i,j}(-m)\).
  • Die Matrix $T_{i,j}(m)$ und ihre inverse Matrix \({T_{i,j}(m)}^{-1}\) sind Dreiecksmatrizen.
  • Die Determinante der Matrix $T_{i,j}(m)$ ist $1$. Hieraus folgt:
    \[ \det\bigl(T_{i,j}(m) \cdot A \bigr) = \det\bigl(T_{i,j}(m)\bigr) \cdot \det\bigl( A \bigr) = 1 \cdot \det\bigl( A \bigr). \]
    Beim Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile verändert sich die Determinante folglich nicht.