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Neutrales Element

Bei einem neutralen Element handelt es sich um ein spezielles Element einer algebraischen Struktur, das die besondere Eigenschaft besitzt, dass jedes Element durch die Verknüpfung mit dem neutralen Element stets auf sich selbst abgebildet wird.

Definition

Sei $\mathcal{M} = \bigl(M,\star\bigr)$ ein Magma, d. h. eine Menge $M$ mit einer darauf definierten inneren zweistelligen Verknüpfung $\star$. Ein Element $e \in M$ heißt

linksneutral (bezüglich der Verknüpfung $\star$), falls gilt: $\forall a \in M: e \star a = a.$
rechtsneutral (bezüglich der Verknüpfung $\star$), falls gilt: $\forall a \in M: a \star e = a.$
neutral (bezüglich der Verknüpfung $\star$), falls es links- und rechtsneutral ist, d. h. falls gilt: $\forall a \in M: e \star a = a = a \star e.$

Die Begriffe linksneutral, rechtsneutral und neutral sind äquivalent, falls die Verknüpfung $\star$ kommutativ ist. Ist die Verknüpfung $\star$ hingegen nicht kommutativ, so können linksneutrale Elemente existieren, die nicht rechtsneutral sind – und umgekehrt.

Eigenschaften

Gleichheit von links- und rechtsneutralen Elementen

Besitzt ein Magma $\mathcal{M} = \bigl(M,\star\bigr)$ sowohl links- als auch rechtsneutrale Elemente, dann stimmen diese Elemente stets überein. Seien $e_{\ell} \in M$ ein linksneutrales Element und $e_r \in M$ ein rechtsneutrales Element. Dann gilt $e_{\ell} \star a = a$ sowie $a \star e_r = a$ für alle $a \in M$. Hieraus folgt insbesondere

e_{\ell} = e_{\ell} \star e_r = e_r,

woraus sich unmittelbar die Gleichheit $e_{\ell} = e_r$ ergibt.

Eindeutigkeit des neutralen Elements

Besitzt ein Magma $\mathcal{M} = \bigl(M,\star\bigr)$ ein neutrales Element $e \in M$, dann ist dieses eindeutig bestimmt. Angenommen, $e_1, e_2 \in M$ seien neutrale Elemente. Dann sind $e_1$ und $e_2$ sowohl links- als auch rechtsneutral, woraus sich die Gleichheit $e_1=e_2$ wie folgt ergibt:

e_1 = e_1 \star e_2 = e_2.

Existenz mehrerer linksneutraler Elemente

Besitzt ein Magma $\mathcal{M} = \bigl(M,\star\bigr)$ kein rechtsneutrales Element, so können mehrere verschiedene linksneutrale Elemente existieren, wie das folgende Beispiel zeigt.

Sei $M$ eine Menge mit mindestens zwei Elementen und die Verknüpfung $\star$ sei wie folgt definiert:

\begin{array}{c} \star: M \times M \rightarrow M \\[0.5em] (a,b) \mapsto b. \end{array}

Alle Elemente $a \in M$ sind linksneutral bzgl. dieser Verknüpfung $\star$. Es existiert kein rechtsneutrales Element.

Existenz mehrerer rechtsneutraler Elemente

Analog zur Existenz mehrerer linksneutraler Elemente ist es ebenfalls möglich, dass mehrere rechtsneutrale Elemente existieren, falls es kein linksneutrales Element gibt.

Beispiele

Bei den folgenden Beispielen handelt es sich um einige exemplarische neutrale Elemente:

Bei der Zahl $0$ handelt es sich um das neutrale Element der Addition von natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen.
Bei der $1$ handelt es sich um das neutrale Element der Multiplikation von natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen.
Bei der Restklasse ${[0]}_m$ handelt es sich um das neutrale Element der Addition von Restklassen modulo $m$.
Bei der Restklasse ${[1]}_m$ handelt es sich um das neutrale Element der Multiplikation von Restklassen modulo $m$.
Beim Nullpolynom handelt es sich um das neutrale Element der Polynomaddition.
Beim Nullvektor handelt es sich um das neutrale Element der Vektoraddition.
Bei der Nullmatrix handelt es sich um das neutrale Element der Matrizenaddition.
Bei der Einheitsmatrix $E_n$ handelt es sich um das neutrale Element der Matrizenmultiplikation (für quadratische $n \times n$ Matrizen).
Bei der Identität $id$ handelt es sich um das neutrale Element der Komposition von Funktionen.