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Identische Abbildung

Die identische Abbildung (auch Identität) ist eine Abbildung bzw. Funktion, die genau ihr Argument zurückgibt, die also jeden Wert auf sich selbst abbildet.

Inhalt

Definition

Für eine Menge \(A\) ist die identische Abbildung \(\id_A\) (auch Identität) wie folgt definiert:

\[ \begin{array}{c} \id_A: A \rightarrow A \\[0.5em] x \mapsto x. \end{array} \]

Für jedes Element \(a \in A\) gilt somit, dass es auf sich selbst abgebildet wird:

\[ \id_A(a) = a. \]

Bei der identischen Abbildung \(\id_A\) handelt es sich um eine bijektive Funktion.

Eigenschaften

Zusammenhang mit der Komposition von Funktionen

Für eine beliebige Funktion \(f: A \rightarrow B\) gilt für die Komposition mit der identischen Abbildung:

\begin{align*} \id_B \circ f &= f \\[0.5em] f \circ \id_A &= f. \end{align*}

Die identische Abbildung \(\id_B\) bzw. \(\id_A\) ist bezüglich der Komposition \(\circ\) folglich links- bzw. rechtsneutral.

Zusammenhang mit algebraischen Strukturen

Sei \(\mathcal{F}(A)\) die Menge aller Funktionen \(A \rightarrow A\) auf einer Menge \(A\). Bei der identischen Abbildung \(\id_A\) handelt es sich dann um das neutrale Element der Komposition \(\circ\). Die Menge \(\mathcal{F}(A)\) bildet zusammen mit der Komposition somit einen Monoid.

Bei der identischen Abbildung handelt es sich um das neutrale Element von symmetrischen Gruppen und Permutationsgruppen – also von Gruppen von Permutationen.