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Partielle Integration

Die partielle Integration ist eine grundlegende Regel der Integralrechnung, die beschreibt, wie die Bestimmung einer Stammfunktion eines Produkts aus zwei Funktionen auf die Stammfunktionen bzw. Ableitungen der einzelnen Funktionen zurückgeführt werden kann.

Integrationsregel

Gegeben seien ein Intervall $\mathcal{D}$ der reellen Zahlen sowie zwei auf diesem Intervall definierte, differenzierbare Funktionen $u$ und $v$. Bei der partiellen Integration handelt es sich um die folgenden Regeln, mit denen Integrale von Produkten aus zwei Funktionen umgeformt werden können:

\begin{align*} \int{u'(x) \cdot v(x)\ dx} &= u(x) \cdot v(x) - \int{u(x) \cdot v'(x)\ dx} \\[0.5em] \int{u(x) \cdot v'(x)\ dx} &= u(x) \cdot v(x) - \int{u'(x) \cdot v(x)\ dx} \end{align*}

Hierbei wird eine der beiden Funktionen des Produkts als abgeleitet, die andere als nicht abgeleitet betrachtet. Durch Anwenden der partiellen Integration vertauschen sich diese Rollen – mit dem Ziel, ein leichter zu berechnendes Integral zu erhalten.

Für bestimmte Integrale lauten die Regeln der partiellen Integration wie folgt:

\begin{align*} \int\limits_a^b{u'(x) \cdot v(x)\ dx} &= {\Bigl[ u(x) \cdot v(x) \Bigr]}_a^b - \int\limits_a^b{u(x) \cdot v'(x)\ dx} \\[0.5em] \int\limits_a^b{u(x) \cdot v'(x)\ dx} &= {\Bigl[ u(x) \cdot v(x) \Bigr]}_a^b - \int\limits_a^b{u'(x) \cdot v(x)\ dx} \end{align*}

Hinweis: Die Regeln sind im Wesentlichen identisch. Sie sind dennoch beide explizit genannt, um zu verdeutlichen, dass es grundsätzlich möglich ist, jede der beiden Funktionen als die abgeleitete bzw. die nicht abgeleitete Funktion zu betrachten.

Beschreibung des Verfahrens

Grundidee

Mithilfe der Regel der partiellen Integration kann das Integral des Produkts zweier Funktionen, das oftmals nicht direkt berechnet werden kann, auf ein anderes Integral zurückgeführt werden. Der Grundgedanke hierbei ist, dass

das neue Integral einfacher zu berechnen ist (vgl. Beispiele 1-4),
die resultierende Gleichung nach dem gesuchten Integral umgestellt werden kann (vgl. Beispiel 5).

Gedanklich wird hierzu das zu integrierende Produkt so betrachtet, dass einer der beiden Faktoren in abgeleiteter Form vorliegt – und der andere Faktor in nicht abgeleiteter Form. Im resultierenden neuen Integral, das beim Anwenden der Regel der partiellen Integration entsteht, sind diese Rollen vertauscht.

Wahl von u und v

Die Wahl der Funktionen $u$ und $v$ ist entscheidend für den Erfolg der partiellen Integration. Das Ziel ist es, das entstehende Integral einfacher bzw. besser integrierbar zu machen als das ursprüngliche Integral.

Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass $u$ als die nicht abgeleitete Funktion gewählt wird; für den umgekehrten Fall können analoge Regeln formuliert werden.

Grundprinzip

Die Funktion $u$ sollte so gewählt werden, dass ihre Ableitung $u'$ einfacher ist als $u$ selbst.
Die Funktion $v'$ sollte so gewählt werden, dass sich eine Stammfunktion $v$ leicht bestimmen lässt.

Typische Strategie (LIATE-Regel)

Eine bewährte Faustregel zur Wahl von $u$ und $v$ ist die sogenannte LIATE-Regel. Sie gibt eine Priorität für verschiedene Funktionstypen vor. Die Funktion, die in der Liste weiter oben steht, wird als nicht abgeleitete Funktion $u$ gewählt, da ihre Ableitung typischerweise einfacher wird:

Logarithmische Funktionen
Inverse trigonometrische oder inverse hyperbolische Funktionen
Algebraische Funktionen (z. B. Potenzen oder Polynome)
Trigonometrische oder hyperbolische Funktionen
Exponentialfunktionen

Hinweis: Die LIATE-Regel ist oftmals eine hilfreiche Orientierung, jedoch keine Garantie für den Erfolg. Je nach Kontext kann eine andere Wahl von $u$ und $v$ sinnvoller sein.

Polynome

Ist ein Faktor ein Polynom, so ist es in der Regel sinnvoll, diesen als die nicht abgeleitete Funktion $u$ zu wählen. Durch wiederholte Anwendung der partiellen Integration wird der Grad des Polynoms schrittweise verringert, bis nur noch eine Konstante übrig bleibt. Diese kann mithilfe der Faktorregel für Integrale anschließend aus dem Integral herausgezogen werden.

Besondere Fälle

In manchen Fällen führt die partielle Integration nicht direkt zu einer Vereinfachung, sondern auf ein Integral, das dem ursprünglichen Integral entspricht. In solchen Situationen kann die entstehende Gleichung nach dem gesuchten Integral aufgelöst werden (vgl. Beispiel 5). Dies ist allerdings nicht in allen Fällen möglich.

Beispiele

Beispiel 1

Das erste Beispiel demonstriert die partielle Integration an der Funktion

f(x) = x \cdot e^x,

bei der es sich um das Produkt der Potenzfunktion $x$ und der Exponentialfunktion $e^x$ handelt. Beide Funktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzier- und integrierbar. Es wird zunächst $u = x$ und $v' = e^x$ gewählt. Mithilfe der Ableitungsregel der Potenzfunktion und der Integrationsregel der Exponentialfunktion ergibt sich:

\begin{align*} u &= x & v &= e^x \\[0.75em] u' &= 1 & v' &= e^x \end{align*}

Mithilfe der Regel der partiellen Integration folgt somit:

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\underbrace{x}_{u} \cdot \underbrace{e^x}_{v'}\ dx} \\[0.75em] &= \underbrace{x}_{u} \cdot \underbrace{e^x}_{v} - \int{\underbrace{1}_{u'} \cdot \underbrace{e^x}_{v}\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot e^x - \int{e^x\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot e^x - e^x \\[0.75em] &= \bigl( x-1 \bigr) \cdot e^x + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 2

Das zweite Beispiel demonstriert die partielle Integration an der Funktion

g(x) = \bigl( x^2+1 \bigr) \cdot e^x,

bei der es sich um das Produkt des Polynoms $x^2+1$ und der Exponentialfunktion $e^x$ handelt. Beide Funktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzier- und integrierbar. Es wird zunächst $u = x^2+1$ und $v' = e^x$ gewählt. Mithilfe der Ableitungsregel für Polynome und der Integrationsregel der Exponentialfunktion ergibt sich:

\begin{align*} u &= x^2+1 & v &= e^x \\[0.75em] u' &= 2x & v' &= e^x \end{align*}

Durch Anwenden der partiellen Integration ergibt sich:

\begin{align*} \int{g(x)\ dx} &= \int{\bigl( \underbrace{x^2+1}_{u} \bigr) \cdot \underbrace{e^x}_{v'}\ dx} \\[0.75em] &= \bigl( \underbrace{x^2+1}_{u} \bigr) \cdot \underbrace{e^x}_{v} - \int{\underbrace{2x}_{u'} \cdot \underbrace{e^x}_{v}\ dx} \\[0.75em] &= \bigl( x^2+1 \bigr) \cdot e^x - 2 \cdot \int{x \cdot e^x\ dx} \\[0.75em] &\overset{(\star)}{=} \bigl( x^2+1 \bigr) \cdot e^x - 2 \cdot \bigl( x \cdot e^x - e^x \bigr) \\[0.75em] &= \bigl( x^2+1 \bigr) \cdot e^x - 2x \cdot e^x + 2e^x \\[0.75em] &= \bigl( x^2 - 2x + 3 \bigr) \cdot e^x + \mathcal{C} \end{align*}

Hinweis: Bei $(\star)$ wird zur Berechnung des Integrals auf der rechten Seite erneut partielle Integration verwendet, die in diesem Fall genau Beispiel 1 entspricht.

Beispiel 3

Das dritte Beispiel demonstriert die partielle Integration an der Funktion

f(x) = x \cdot \sinh(x),

bei der es sich um das Produkt der Potenzfunktion $x$ und der Sinus-hyperbolicus-Funktion $\sinh(x)$ handelt. Beide Funktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzier- und integrierbar. Es wird zunächst $u = x$ und $v' = \sinh(x)$ gewählt. Mithilfe der Ableitungsregel der Potenzfunktion und der Integrationsregel der Sinus-hyperbolicus-Funktion ergibt sich:

\begin{align*} u &= x & v &= \cosh(x) \\[0.75em] u' &= 1 & v' &= \sinh(x) \end{align*}

Mithilfe der Regel der partiellen Integration und der Integrationsregel der Kosinus-hyperbolicus-Funktion folgt somit:

\begin{align*} \int{f(x)\ dx} &= \int{\underbrace{x}_{u} \cdot \underbrace{\sinh(x)}_{v'}\ dx} \\[0.75em] &= \underbrace{x}_{u} \cdot \underbrace{\cosh(x)}_{v} - \int{\underbrace{1}_{u'} \cdot \underbrace{\cosh(x)}_{v}\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \cosh(x) - \int{\cosh(x)\ dx} \\[0.75em] &= x \cdot \cosh(x) - \sinh(x) + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 4

Das vierte Beispiel demonstriert die partielle Integration an der Funktion

h(x) = x^9 \cdot \ln(x),

bei der es sich um das Produkt der Potenzfunktion $x^9$ und der Logarithmusfunktion $\ln(x)$ handelt. Beide Funktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzier- und integrierbar. Es wird zunächst $u' = x^9$ und $v = \ln(x)$ gewählt. Mithilfe der Integrationsregel der Potenzfunktion und der Ableitungsregel der Logarithmusfunktion ergibt sich:

\begin{align*} u &= \frac{1}{10} \cdot x^{10} & v &= \ln(x) \\[0.75em] u' &= x^9 & v' &= \frac{1}{x} \end{align*}

Mithilfe der Regel der partiellen Integration folgt somit:

\begin{align*} \int{h(x)\ dx} &= \int{\underbrace{x^9}_{u'} \cdot \underbrace{\ln(x)}_{v}\ dx} \\[0.75em] &= \underbrace{\frac{1}{10} \cdot x^{10}}_{u} \cdot \underbrace{\ln(x)}_{v} - \int{\underbrace{\frac{1}{10} \cdot x^{10}}_{u} \cdot \underbrace{\frac{1}{x}}_{v'}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{10} \cdot x^{10} \cdot \ln(x) - \frac{1}{10} \cdot \int{x^9\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{10} \cdot x^{10} \cdot \ln(x) - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot x^{10} \\[0.75em] &= \frac{1}{10} \cdot x^{10} \cdot \left( \ln(x) - \frac{1}{10} \right) + \mathcal{C} \end{align*}

Beispiel 5

Das fünfte Beispiel demonstriert die partielle Integration an der Funktion

k(x) = \sin(x) \cdot \cos(x),

bei der es sich um das Produkt der Sinus-Funktion $\sin(x)$ und der Kosinus-Funktion $\cos(x)$ handelt. Beide Funktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzier- und integrierbar. Es wird zunächst $u = \sin(x)$ und $v' = \cos(x)$ gewählt. Mithilfe der Ableitungsregel der Sinus-Funktion und der Integrationsregel der Kosinus-Funktion ergibt sich:

\begin{align*} u &= \sin(x) & v &= \sin(x) \\[0.75em] u' &= \cos(x) & v' &= \cos(x) \end{align*}

Die partielle Integration liefert das folgende Zwischenergebnis:

\int{\underbrace{\sin(x)}_{u} \cdot \underbrace{\cos(x)}_{v'}\ dx} = \underbrace{\sin(x)}_{u} \cdot \underbrace{\sin(x)}_{v} - \int{\underbrace{\cos(x)}_{u'} \cdot \underbrace{\sin(x)}_{v}\ dx}

Im Gegensatz zu den Beispielen 1-4 entspricht das Integral auf der rechten Seite (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) wieder dem Ausgangsintegral. Die partielle Integration hat hier zunächst zu keiner direkten Vereinfachung des ursprünglichen Integrals geführt – auch mehrfaches partielles Integrieren würde hieran nichts ändern und folglich keine Lösung liefern. Allerdings kann die erhaltene Gleichung nach dem gesuchten Integral umgestellt werden. Es gilt:

\begin{align*} 2 \cdot \int{\sin(x) \cdot \cos(x)\ dx} &= \sin^2(x) \\[0.75em] \implies \int{\sin(x) \cdot \cos(x)\ dx} &= \frac{1}{2} \cdot \sin^2(x) + \mathcal{C} \end{align*}

Hinweis: Das Integral $\int{\sin(x) \cdot \cos(x)\ dx}$ lässt sich auch direkt mithilfe von Integration durch Substitution lösen. Es wurde hier gewählt, weil es den Umstell-Trick mit nur einem Integrationsschritt illustriert. Bei Produkten wie $e^x \cdot \sin⁡(x)$ oder bspw. $2^x \cdot \cos⁡(x)$ ist diese Methode hingegen die einzig elementar mögliche, erfordert aber mehr Schritte – das Prinzip ist allerdings dasselbe.

Anwendungen

Die partielle Integration kann verwendet werden, um Stammfunktionen für verschiedene elementare Funktionen zu finden. Dies gilt beispielsweise für die

Darüber hinaus kann die partielle Integration ebenfalls verwendet werden, um Rekursionsformeln zum Integrieren von Potenzen von (elementaren) Funktion zu bestimmen. Dies gilt exemplarisch für die folgenden Fälle:

Herleitung

Die Herleitung der Regel für die partielle Integration erfolgt durch Umkehrung der Produktregel der Differentialrechnung. Gegeben seien zwei differenzierbare Funktionen $u$ und $v$. Es gilt:

\begin{align*} \Bigl[ u(x) \cdot v(x) \Bigr]' &\overset{(1)}{=} u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \\[1.5em] \implies \int{\Bigl[ u(x) \cdot v(x) \Bigr]'\ dx} &\overset{(2)}{=} \int{\bigl( u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \bigr)\ dx} \\[0.75em] u(x) \cdot v(x) &\overset{(3)}{=} \int{u'(x) \cdot v(x)\ dx} + \int{u(x) \cdot v'(x)\ dx} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Definition der Produktregel
(2)	Integration beider Seiten der Gleichung nach $x$
(3)	Auswerten des Integrals auf der linken Seite: Die Stammfunktion von $\bigl[u(x) \cdot v(x)\bigr]'$ ist $u(x) \cdot v(x)$ Aufteilen des Integrals auf der rechten Seite mithilfe der Summenregel für Integrale

Abschließendes Umstellen ergibt die Regeln der partiellen Integration:

\begin{align*} \int{u'(x) \cdot v(x)\ dx} &= u(x) \cdot v(x) - \int{u(x) \cdot v'(x)\ dx} \\[0.75em] \int{u(x) \cdot v'(x)\ dx} &= u(x) \cdot v(x) - \int{u'(x) \cdot v(x)\ dx} \end{align*}