Die Produktregel ist eine der grundlegenden Regeln der Differentialrechnung. Sie besagt, dass das Produkt von differenzierbaren Funktionen selbst differenzierbar ist. Die Produktregel beschreibt darüber hinaus, wie die Ableitung des Produkts von Funktionen auf die Ableitungen der einzelnen Funktionen zurückgeführt werden kann.
Definition
Produktregel
Gegeben seien ein Intervall $\mathcal{D}$ der reellen oder der komplexen Zahlen sowie zwei auf diesem Intervall definierte Funktionen $u$ und $v$. Die Produktregel besagt, dass das Produkt
\[ f(x) = u(x) \cdot v(x) \]
der Funktionen $u$ und $v$ an der Stelle $x_0 \in \mathcal{D}$ differenzierbar ist, falls die Funktionen $u$ und $v$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar sind. Die Ableitung des Produkts an der Stelle $x_0$ kann in diesem Fall auf die Ableitungen der Funktionen $u$ und $v$ zurückgeführt werden; es gilt:
Die Produktregel für drei Funktionen besagt, dass das Produkt
\[ f(x) = u(x) \cdot v(x) \cdot w(x) \]
der Funktionen $u$, $v$ und $w$ an der Stelle $x_0 \in \mathcal{D}$ differenzierbar ist, falls die Funktionen $u$, $v$ und $w$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar sind. In diesem Fall gilt:
Die allgemeine Produktregel gilt analog für Produkte von mehreren Funktionen. Sind die Funktionen $f_1,\ldots,f_n$ (für $n \in \N$ und $n \geq 2$) an der Stelle $x_0 \in \mathcal{D}$ differenzierbar, so ist auch ihr Produkt
In Worten: Die Ableitung des Produkts von mehreren Funktionen ergibt sich, indem alle Terme aufsummiert werden, die sich als Produkt aller Funktionen ergeben, wobei jeweils exakt eine der Funktionen in abgeleiteter Form vorliegt.
Beispiele
Beispiel 1
Das erste Beispiel demonstriert die Produktregel für ein Produkt von zwei Funktionen. Gegeben sei die Funktion
\[ f(x) = x^3 \cdot e^x, \]
bei der es sich um das Produkt der Potenzfunktion $x^3$ und der Exponentialfunktion $e^x$ handelt. Da beide Funktionen auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar sind, kann die Ableitung der Funktion $f$ mithilfe der Produktregel auf die Ableitungen der Funktionen $x^3$ und $e^x$ zurückgeführt werden. Hierbei werden die Ableitungsregel der Potenzfunktion sowie die Ableitungsregel der Exponentialfunktion benötigt. Es gilt:
Das zweite Beispiel verwendet die Produktregel für ein Produkt von drei Funktionen. Gegeben sei die Funktion
\[ g(x) = x^2 \cdot \cos(x) \cdot \ln(x), \]
bei der es sich um das Produkt der Potenzfunktion $x^2$, der Kosinus-Funktion $\cos(x)$ und der Logarithmusfunktion $\ln(x)$ handelt. Da alle drei Funktionen auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar sind, kann die Ableitung der Funktion $g$ mithilfe der Produktregel auf die Ableitungen der Funktionen $x^2$, $\cos(x)$ und $\ln(x)$ zurückgeführt werden. Hierbei werden die Ableitungsregel der Potenzfunktion, die Ableitungsregel der Kosinus-Funktion sowie die Ableitungsregel der Logarithmusfunktion benötigt. Es gilt:
Die Herleitung bzw. der Beweis der Produktregel für das Produkt von zwei Funktionen erfolgt mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit über den Grenzwert des Differenzenquotienten. Gegeben seien die beiden an der Stelle $x_0$ differenzierbaren Funktionen $u$ und $v$. Bei den Ableitungen $u'(x_0)$ bzw. $v'(x_0)$ handelt es sich nach der Definition der Differenzierbarkeit dann um die folgenden Grenzwerte:
Aufteilen des Grenzwerts der Summe auf die Summe der Grenzwerte
(6)
Aufteilen des ersten Grenzwerts auf das Produkt von zwei Grenzwerten
Herausziehen des konstanten Faktors $v(x_0)$ aus dem zweiten Grenzwert
(7)
Ausrechnen von $\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\Bigl(u(x_0+h)\Bigr)}$ mithilfe der Stetigkeit der Funktion $u$
Ersetzen der Grenzwerte durch die Ableitungen $u'(x_0)$ und $v'(x_0)$ gemäß der initialen Definition
(8)
Umsortieren der Summe mit dem Kommutativgesetz
Beweis der Produktregel (allgemein)
Der Beweis der allgemeinen Produktregel für Produkte von mehreren differenzierbaren Funktionen $f_1,\ldots,f_n$ (für $n \in \N$ und $n \geq 2$) kann mithilfe einer vollständigen Induktion erbracht werden. Hierzu wird der bereits mithilfe des Grenzwerts des Differenzenquotienten erbrachte Beweis verwendet, dass die Produktregel für das Produkt von zwei Funktionen gültig ist. Anschließend wird gezeigt, dass unter der Annahme, die Produktregel sei für Produkte mit $n$ Funktionen gültig, dann auch die Gültigkeit für Produkte mit $n+1$ Funktionen folgt.
(I) Induktionsanfang Die Aussage ist für $n=2$ gültig, wie bereits im vorherigen Abschnitt gezeigt wurde.
(II) Induktionsschritt Induktionsannahme: Die Produktregel gelte für ein fest gewähltes $n \in \N$ mit $n \geq 2$.
Zurückführen des Produkts von $n+1$ Funktionen auf das Produkt von $n$ Funktionen
Herausziehen der Funktion $f_{n+1}$ aus dem Produktzeichen
(2)
Anwenden der Produktregel für das Produkt von zwei Funktionen
(3)
Ausrechnen der Ableitung $ {\left[ \prod\limits_{k=1}^{n}{f_k(x_0)} \right]}'$ mithilfe der Produktregel, die gemäß Induktionsannahme für Produkte von $n$ Funktionen gilt
(4)
Hineinziehen des von $k$ unabhängigen Faktors $f_{n+1}(x_0)$ in das Summenzeichen
(5)
Hineinziehen des Faktors $f_{n+1}(x_0)$ in das Produktzeichen innerhalb der Summe; es handelt sich bei $f_{n+1}(x_0)$ um den Faktor für $i=n+1$.
Der Faktor $f_{n+1}(x_0)$ ist immer im Produkt enthalten, da wegen $1 \leq k \leq n$ für $i=n+1$ stets $i \neq k$ gilt;
Anpassen der Grenzen des hinteren Produktzeichens. Aufgrund der zusätzlichen Bedingung $i \neq n+1$ kann der Faktor für $i=n+1$ formal in das Produkt aufgenommen werden, ohne dass das Produkt selbst verändert wird.
(5)
Beim hinteren Summanden handelt es sich um den Summationsterm für $k=n+1$. Dieser kann in das Summenzeichen hineingezogen werden.
Insgesamt folgt, dass die Produktregel für Produkte von $n+1$ Funktionen gilt, falls sie für Produkte von $n$ Funktionen gilt. Zusammen mit dem Induktionsanfang folgt nach dem Induktionsprinzip somit die Gültigkeit der Produktregel für alle Produkte von $n \geq 2$ differenzierbaren Funktionen.
