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Division von natürlichen Zahlen

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Definition

Es ist im allgemeinen nicht möglich, eine natürliche Zahl durch eine andere natürliche Zahl zu teilen und wieder eine natürliche Zahl als Ergebnis zu erhalten.

Stattdessen wird häufig eine Division mit Rest verwendet, bei der für natürliche Zahlen $a,b$ mit $b \neq 0$ zwei natürliche Zahlen $q,r$ gesucht werden, so dass gilt:

\[ a = q \cdot b + r \quad\left(\text{mit } 0 \leq r \lt b\right). \]

Man bezeichnet $q$ als den Quotienten und $r$ als den Rest der Division durch $b$. Die Zahlen $q$ und $r$ sind eindeutig durch $a$ und $b$ bestimmt

Beispiele

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Eigenschaften

Nichtassoziativität

Die Division von natürlichen Zahlen ist im Allgemeinen nicht assoziativ, wie das folgende Beispiel zeigt:

\begin{align*} \underbrace{\bigl( 8 : 4 \bigr)}_{=2} : 2 &= 1 \\[0.5em] 8 : \underbrace{\bigl( 4 : 2 \bigr)}_{=2} &= 4 \end{align*}

Nichtkommutativität

Die Division von natürlichen Zahlen ist im Allgemeinen nicht kommutativ, wie das folgende Beispiel zeigt:

\begin{align*} 3 : 2 &= 1 \text{ Rest}: 1 \\[0.5em] 2 : 3 &= 0 \text{ Rest}: 2 \end{align*}

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bzgl. der Division.

Bei der natürlichen Zahl $1$ handelt es sich um ein rechts-, aber nicht um ein linksneutrales Element.

Inverses Element

Das inverse Element einer natürlichen Zahl $a$ bzgl. der Division existiert im Allgemein nicht.