de
Seitenbanner
Menu
A-Z
  • Nachlesen
  • Grundlagen
  • Zahlen
  • Natürliche Zahlen
Nachlesen

Natürliche Zahlen

Inhalt

Definition

Bei der Menge $\N$ der natürlichen Zahlen handelt es sich um die beim Zählen verwendeten Zahlen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ usw. Die $0$ wird, je nach Definition, zu den natürlichen Zahlen gezählt oder nicht zu den natürlichen Zahlen gezählt – eine einheitliche Definition existiert nicht.

Um auszudrücken, ob die $0$ in den natürlichen Zahlen enthalten oder nicht enthalten ist, wird das Formelsymbol $\N$ gelegentlich mit einem geeigneten Index (oder einem Exponent) angegeben:

\begin{align*} \N_0 = \N^0 = \N \cup \bigl\{ 0 \bigr\} &= \Bigl\{ 0,1,2,3,\ldots \Bigr\} \\[0.5em] \N = \N^* = \N^+ = \N_1 = \N_{\gt 0} &= \Bigl\{ 1,2,3,\ldots \Bigr\} \end{align*}

Arithmetische Operationen

Addition

Hauptartikel: Addition von natürlichen Zahlen

TODO

Subtraktion

Hauptartikel: Subtraktion von natürlichen Zahlen

TODO

Multiplikation

Hauptartikel: Multiplikation von natürlichen Zahlen

TODO

Division

Hauptartikel: Division von natürlichen Zahlen

TODO

Additives Inverses

Eine natürliche Zahl $n$ besitzt im Allgemeinen kein additives Inverses.

Multiplikatives Inverses

Eine natürliche Zahl $n$ besitzt im Allgemeinen kein multiplikatives Inverses.

Eigenschaften

Kommutativer Halbring

Die Menge $\N_0$ bildet zusammen mit der Addition und der Multiplikation den kommutativen Halbring $(\N_0, +, \cdot)$ der natürlichen Zahlen.

Formale Konstruktion

Peano-Axiome

Hauptartikel: Peano-Axiome

Die natürlichen Zahlen und ihre Eigenschaften können mithilfe der Peano-Axiome definiert werden, die 1889 vom italienischen Mathematiker Giuseppe Peano formuliert wurden:

  1. $0$ ist eine natürliche Zahl
  2. Jede natürliche Zahl $n$ besitzt eine natürliche Zahl $n^\star = n+1$ als Nachfolger
  3. Keine natürliche Zahl besitzt die 0 als Nachfolger
  4. Sind die Nachfolger $n^\star, m^\star$ zweier natürlicher Zahlen $m,n$ gleich, so sind $m$ und $n$ gleich.
  5. Ist eine Aussage für $0$ wahr, und impliziert die Gültigkeit der Aussage für eine natürliche Zahl $n$ die Gültigkeit der Aussage für deren Nachfolger $n^\star$, so gilt die Aussage für jede natürliche Zahl. (Induktionsaxiom)

In der ursprünglichen Definition der Peano-Axiome war $1$ die kleinste natürliche Zahl; jedes Vorkommen von $0$ in den obigen Axiomen ist in diesem Fall durch $1$ zu ersetzen.