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Potenzmenge

Bei der Potenzmenge einer Menge handelt es sich um die Menge aller Teilmengen dieser Menge.

Inhalt

Definition

Gegeben sei eine Menge $A$. Bei der Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ handelt es sich um die Menge, die alle Teilmengen von $A$ enthält:

\[ \mathcal{P}(A) = \Bigl\{ X \mid X \subseteq A \Bigr\}. \]

Für die Mächtigkeit \(|\mathcal{P}(A)|\) der Potenzmenge einer \(n\)-elementigen Menge \(A\) gilt:

\[ |\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|} = 2^n. \]

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die Menge $A = \bigl\{ 1,2 \bigr\}$. Die Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ enthält alle $2^2 = 4$ Teilmengen von $A$:

\[ \mathcal{P}(A) = \Bigl\{ \emptyset, \bigl\{ 1 \bigr\}, \bigl\{ 2 \bigr\}, \bigl\{ 1,2 \bigr\} \Bigr\}. \]

Beispiel 2

Gegeben sei die Menge $A = \bigl\{ a,b,c \bigr\}$. Die Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ enthält alle $2^3 = 8$ Teilmengen von $A$:

\[ \mathcal{P}(A) = \Bigl\{ \emptyset, \bigl\{ a \bigr\}, \bigl\{ b \bigr\}, \bigl\{ c \bigr\}, \bigl\{ a,b \bigr\}, \bigl\{ a,c \bigr\}, \bigl\{ b,c \bigr\}, \bigl\{ a,b,c \bigr\} \Bigr\}. \]

Beispiel 3

Gegeben sei die leere Menge $\emptyset$.

  • Die Potenzmenge $\mathcal{P}(\emptyset)$ enthält alle $2^0 = 1$ Teilmengen der leeren Menge $\emptyset$:
    \[ \mathcal{P}(\emptyset) = \Bigl\{ \emptyset \Bigr\}. \]
  • Die Potenzmenge $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\emptyset))$ enthält alle $2^1=2$ Teilmengen von $\mathcal{P}(\emptyset)$:
    \[ \mathcal{P}(\mathcal{P}(\emptyset)) = \Bigl\{ \emptyset, \bigl\{ \emptyset \bigr\} \Bigr\}. \]
  • Die Potenzmenge $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\emptyset)))$ enthält alle $2^2=4$ Teilmengen von $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\emptyset))$:
    \[ \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\emptyset))) = \Bigl\{ \emptyset, \bigl\{ \emptyset \bigr\}, \bigl\{\{ \emptyset \}\bigr\}, \bigl\{ \emptyset, \{ \emptyset \}\bigr\} \Bigr\}. \]

Eigenschaften

Mächtigkeit

Gegeben sei eine Menge $A$ mit $|A|=n$ Elementen. Die Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ besitzt dann genau $|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|} = 2^n$ Elemente.

Dies ergibt sich leicht aus der folgenden Überlegung: Eine Teilmenge von $A$ kann durch ein Tupel $(w_1,\ldots,w_n)$ mit $w_i \in \bigl\{0,1\bigr\}$ (für $1 \leq i \leq n$) dargestellt werden. Hierbei bedeutet $w_i = 1$, dass das entsprechende Element in der Teilmenge enthalten ist, andernfalls ist das entsprechende Element nicht in der Teilmenge enthalten. Die Anzahl aller derartigen Tupel – und somit die Anzahl aller Teilmengen – ist $2^n$.

Sonstige Eigenschaften

Für Mengen $A$ und $B$ gelten die folgenden Eigenschaften:

\begin{align*} A \subseteq B &\Leftrightarrow \mathcal{P}(A) \subseteq \mathcal{P}(B) \\[0.5em] \mathcal{P}(A \cap B) &= \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) \\[0.5em] \mathcal{P}(A \cup B) &\supseteq \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B). \end{align*}