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Vorzeichenfunktion

Die Vorzeichenfunktion bzw. Signumfunktion (abgekürzt: sgn) ist eine elementare mathematische Funktion, die jeder Zahl ihr Vorzeichen zuordnet.

Definition

Die Vorzeichenfunktion bzw. Signumfunktion (abgekürzt: sgn) ordnet einer reellen Zahl $x \in R$ ihr Vorzeichen zu. Es gilt:

sgn (x) = {\begin{cases} - 1 & , falls x < 0 \\ 0 & , falls x = 0 \\ 1 & , falls x > 0 \end{cases}

Die Vorzeichenfunktion ordnet folglich den positiven reellen Zahlen den Wert +1, den negativen reellen Zahlen den Wert -1 und der Null den Wert 0 zu.

Abhängig vom Anwendungskontext, unter anderem in der Rechentechnik, werden teilweise auch alternative Definitionen für die Null verwendet; beispielsweise:

$sgn (0) = + 1$
$sgn (0) = - 1$
$sgn (0) = \pm 1$
undefiniert

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Vorzeichenfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$- \infty < x < \infty$
Wertebereich	${- 1, 0, 1}$
Periodizität	keine
Monotonie	konstant für $x < 0$ konstant für $x > 0$
Krümmung	keine
Symmetrien	punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	$f (x) \to - 1$ für $x \to - \infty$ $f (x) \to 1$ für $x \to \infty$
Nullstellen	$x_{0} = 0$
Sprungstellen	$x_{0} = 0$
Polstellen	keine
Extremstellen	keine
Wendepunkte	keine

Ableitung

Die Vorzeichenfunktion ist keine differenzierbare Funktion, da sie bei $x_{0} = 0$ nicht differenzierbar ist. Sie ist allerdings in den Intervallen $x < 0$ sowie $x > 0$ differenzierbar und besitzt dort jeweils den konstanten Anstieg $0$ .

Für die (intervallweise) Ableitung der Vorzeichenfunktion ergibt sich somit:

\begin{aligned} [sgn (x)]^{'} & = \frac{d}{d x} [sgn (x)] \\ = {\begin{cases} 0 & , falls x < 0 \\ 0 & , falls x > 0 \end{cases} \end{aligned}

Stammfunktion

Die Stammfunktion der Vorzeichenfunktion lautet (für $x \neq 0$ ):

\int sgn (x) d x = | x | + C