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Signumfunktion
Die Vorzeichen- oder Signumfunktion (abgekürzt: $\sgn$) ist eine Funktion, die einer reellen Zahl ihr Vorzeichen zuordnet.
Definition
Die Funktion $\sgn$ lässt sich für alle reellen Zahlen $x \in \R$ durch die folgende Formel ausdrücken:
\[ \sgn(x) := \begin{cases} \phantom{-}1 & \text{, falls } x \gt 0 \\[0.75em] \phantom{-}0 & \text{, falls } x = 0 \\[0.75em] -1 & \text{, falls } x \lt 0 \end{cases} \]
Funktionsgraph
Eigenschaften
| Definitionsbereich |
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| Wertebereich |
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| Periodizität |
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| Monotonie |
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| Krümmung |
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| Symmetrien |
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| Asymptoten |
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| Nullstellen |
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| Sprungstellen |
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| Polstellen |
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| Extrema |
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| Wendepunkte |
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Ableitung
Die Signumfunktion besitzt keine Ableitung, da sie bei $x_0=0$ nicht stetig und folglich auch nicht differenzierbar ist; sie ist allerdings in den beiden Intervallen $x \lt 0$ und $x \gt 0$ differenzierbar und besitzt dort jeweils den konstanten Anstieg $0$.
\[ \Bigl[ \sgn(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \sgn(x) = \begin{cases} 0 & \text{, falls } x \gt 0 \\[0.75em] 0 & \text{, falls } x \lt 0 \end{cases} \]
Stammfunktion
Die Signumfunktion besitzt keine Stammfunktion.