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Vorzeichenfunktion

Die Vorzeichenfunktion bzw. Signumfunktion (abgekürzt: sgn) ist eine elementare mathematische Funktion, die jeder Zahl ihr Vorzeichen zuordnet.

Definition

Die Vorzeichenfunktion bzw. Signumfunktion (abgekürzt: sgn) ordnet einer reellen Zahl $x \in \R$ ihr Vorzeichen zu. Es gilt:

\sgn(x) = \begin{cases} -1 & \text{, falls } x \lt 0 \\[0.75em] \phantom{-}0 & \text{, falls } x = 0 \\[0.75em] \phantom{-}1 & \text{, falls } x \gt 0 \end{cases}

Die Vorzeichenfunktion ordnet folglich den positiven reellen Zahlen den Wert +1, den negativen reellen Zahlen den Wert -1 und der Null den Wert 0 zu.

Abhängig vom Anwendungskontext, unter anderem in der Rechentechnik, werden teilweise auch alternative Definitionen für die Null verwendet; beispielsweise:

$\sgn(0) = +1$
$\sgn(0) = -1$
$\sgn(0) = \pm 1$
undefiniert

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Vorzeichenfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$\bigl\{ -1,0,1 \bigr\}$
Periodizität	keine
Monotonie	konstant für $x \lt 0$ konstant für $x \gt 0$
Krümmung	keine
Symmetrien	punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	$f(x) \rightarrow -1$ für $x \rightarrow -\infty$ $f(x) \rightarrow 1$ für $x \rightarrow \infty$
Nullstellen	$x_0 = 0$
Sprungstellen	$x_0 = 0$
Polstellen	keine
Extremstellen	keine
Wendepunkte	keine

Ableitung

Die Vorzeichenfunktion ist keine differenzierbare Funktion, da sie bei $x_0=0$ nicht differenzierbar ist. Sie ist allerdings in den Intervallen $x \lt 0$ sowie $x \gt 0$ differenzierbar und besitzt dort jeweils den konstanten Anstieg $0$.

Für die (intervallweise) Ableitung der Vorzeichenfunktion ergibt sich somit:

\begin{align*} \Bigl[ \sgn(x) \Bigr]' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \sgn(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \begin{cases} 0 & \text{, falls } x \lt 0 \\[0.75em] 0 & \text{, falls } x \gt 0 \end{cases} \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Vorzeichenfunktion (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Vorzeichenfunktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\int{\sgn(x)\ dx} = |x| + \mathcal{C}

Für Potenzen der Vorzeichenfunktion mit ganzzahligen Exponenten $n$ existiert darüber hinaus die folgende Integrationsregel. Hierbei ist zu beachten, dass diese für $n \geq 0$ für alle $x \in \R$ und für $n \lt 0$ für $x \in \R$ mit $x \neq 0$ gilt:

\int{{\sgn}^n(x)\ dx} = \begin{cases} x + \mathcal{C} & (\text{falls } n \text{ gerade}) \\[0.75em] |x| + \mathcal{C} & (\text{falls } n \text{ ungerade}) \end{cases}

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante.