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Länge eines Vektors

Bei der Länge bzw. beim Betrag eines Vektors handelt es sich um dessen Größe. Diese ist stets nichtnegativ und kann mithilfe des Satzes von Pythagoras oder mithilfe des Skalarprodukts berechnet werden.

Inhalt

Definition
Beispiele
Herleitung der Formel (Satz des Pythagoras)
Herleitung der Formel (Skalarprodukt)

Definition

Die Länge $|v|$ eines Vektors $v = (v_1, v_2) \in \R^2$ kann mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden. Es gilt:

\bigr|v\bigr| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}.

Allgemein: Die Länge $|v|$ eines Vektors $v = (v_1,\ldots,v_n) \in \R^n$ kann wie folgt berechnet werden:

\bigl|v\bigr| = \sqrt{v_1^2 + \ldots + v_n^2}.

Alternativ kann die Länge eines Vektors $v = (v_1,\ldots,v_n) \in \R^n$ auch über das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst ausgedrückt werden:

\begin{align*} \bigl|v\bigr| &= \sqrt{v \cdot v} \\[0.5em] &= \sqrt{v_1^2 + \ldots + v_n^2}. \end{align*}

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei der Vektor $v = \bigl( 3,-4 \bigr) \in \R^2$. Für die Länge $\bigl|v\bigr|$ des Vektors $v$ ergibt sich:

\begin{align*} \bigl|v\bigr| &= \sqrt{3^2 + {(-4)}^2} \\[0.5em] &= \sqrt{25} \\[0.5em] &= 5. \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei der Vektor $v = \bigl( 1,0,3,-5,2 \bigr) \in \R^5$. Für die Länge $\bigl|v\bigr|$ des Vektors $v$ ergibt sich:

\begin{align*} \bigl|v\bigr| &= \sqrt{1^2 + 0^2 + 3^2 + {(-5)}^2 + 2^2} \\[0.5em] &= \sqrt{39}. \end{align*}

Herleitung der Formel (Satz des Pythagoras)

Herleitung im $\R^2$

Zur Berechnung der Länge eines Vektors $v=(v_1,v_2) \in \R^2$ wird der Vektor $v$ als Nacheinanderausführung der Verschiebung in $v_1$ und $v_2$ Richtung betrachtet:

v = \begin{pmatrix} v_1 \\[0.25em] v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\[0.25em] 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] v_2 \end{pmatrix}.

Die Vektoren $(v_1,0)$ und $(0,v_2)$, deren Längen trivialerweise $v_1$ bzw. $v_2$ sind, bilden die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks. Nach dem Satz des Pythagoras gilt folglich

\begin{align*} {\bigl|v\bigr|}^2 &= {\Bigl|\bigl(v_1,v_2\bigr)\Bigr|}^2 \\[0.5em] &= {\Bigl|\bigl(v_1,0\bigr)\Bigr|}^2 + {\Bigl|\bigl(0,v_2\bigr)\Bigr|}^2 \\[0.5em] &= v_1^2 + v_2^2, \end{align*}

woraus unmittelbar das gesuchte Ergebnis folgt:

\bigl|v\bigr| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}.

Herleitung im $\R^3$

Zur Berechnung der Länge eines Vektors $v=(v_1,v_2,v_3) \in \R^3$ wird der Vektor $v$ als Nacheinanderausführung der Verschiebung in $v_1$, $v_2$ und $v_3$ Richtung betrachtet:

v = \begin{pmatrix} v_1 \\[0.25em] v_2 \\[0.25em] v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] v_2 \\[0.25em] 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] v_3 \end{pmatrix}.

Zunächst wird mithilfe des Satzes von Pythagoras die Länge von $(v_1,v_2,0)$ berechnet. Anschließend wird unter erneuter Verwendung des Satzes von Pythagoras die Länge von $v$ berechnet.

\begin{align*} {\Bigl|\bigl(v_1,v_2,0\bigr)\Bigr|}^2 &= {\Bigl|\bigl(v_1,0,0\bigr)\Bigr|}^2 + {\Bigl|\bigl(0,v_2,0\bigr)\Bigr|}^2 \\[0.5em] &= v_1^2 + v_2^2 \\[1.5em] {\bigl|v\bigr|}^2 &= {\Bigl|\bigl(v_1,v_2,v_3\bigr)\Bigr|}^2 \\[0.5em] &= {\Bigl|\bigl(v_1,v_2,0\bigr)\Bigr|}^2 + {\Bigl|\bigl(0,0,v_3\bigr)\Bigr|}^2 \\[0.5em] &= v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \end{align*}

Für die Länge von $v$ folgt:

\bigl|v\bigr| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}.

Herleitung im $\R^n$

Zur Berechnung der Länge eines Vektors $v=(v_1,\ldots,v_n) \in \R^n$ wird nach demselben Schema wie zuvor der Vektor $v$ zunächst als Nacheinanderausführung der Verschiebung in $v_1$ bis $v_n$ Richtungen betrachtet.

v = \begin{pmatrix} v_1 \\[0.25em] v_2 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] v_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] v_2 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] 0 \end{pmatrix} + \ldots + \begin{pmatrix} 0 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] v_n \end{pmatrix}.

Mehrfaches Anwenden des Satzes von Pythagoras ergibt die gesuchte Formel:

\bigl| v \bigr| = \sqrt{v_1^2 + \ldots + v_n^2}.

Herleitung der Formel (Skalarprodukt)

Gegeben seien zwei Vektoren $a$ und $b$ sowie der zwischen diesen Vektoren eingeschlossene Winkel $\varphi$. Das Skalarprodukt $a \cdot b$ ist wie folgt definiert:

a \cdot b = \bigl|a\bigr| \cdot \bigl|b\bigr| \cdot \cos\bigl(\varphi\bigr).

Für das Skalarprodukt des Vektors $v=(v_1,\ldots,v_n) \in \R^n$ mit sich selbst gilt $\varphi = 0$ und somit

\begin{align*} v \cdot v &= \bigl|v\bigr| \cdot \bigl|v\bigr| \cdot \cos\bigl(0\bigr) \\[0.5em] &= {\bigl|v\bigr|}^2. \end{align*}

Umstellen nach $|v|$ ergibt

\bigl|v\bigr| = \sqrt{v \cdot v}.

Unter Verwendung der Koordinatenform des Skalarprodukts ergibt sich die folgende Formel für die Länge des Vektors $v$:

\bigl|v\bigr| = \sqrt{v_1^2 + \ldots + v_n^2}.